Номер 436, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 436, страница 175.

Условие.

436. Извлечь корень:

1) $\sqrt{\frac{25a^8}{49}}$;

2) $\sqrt{\frac{121x^4}{64}}$;

3) $\sqrt{\frac{1}{4a^2}}$, где $a > 0$;

4) $\sqrt{\frac{400}{a^2}}$, где $a < 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из числителя и знаменателя по отдельности. Это свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0, b > 0$.

Выражение под корнем $\frac{25a^8}{49}$ неотрицательно, так как $25 > 0$, $49 > 0$, и $a^8 = (a^4)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Применим свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{25a^8}{49}} = \frac{\sqrt{25a^8}}{\sqrt{49}}$

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя:

Корень из знаменателя: $\sqrt{49} = 7$.

Корень из числителя: $\sqrt{25a^8} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^8} = 5 \cdot \sqrt{(a^4)^2}$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно, $\sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$. Поскольку $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), то $|a^4| = a^4$.

Значит, $\sqrt{25a^8} = 5a^4$.

Собираем всё вместе:

$\frac{\sqrt{25a^8}}{\sqrt{49}} = \frac{5a^4}{7}$

Ответ: $\frac{5a^4}{7}$

2)

Используем то же свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{121x^4}{64}} = \frac{\sqrt{121x^4}}{\sqrt{64}}$.

Подкоренное выражение $\frac{121x^4}{64}$ неотрицательно, так как $x^4 \ge 0$.

Извлекаем корень из знаменателя:

$\sqrt{64} = 8$.

Извлекаем корень из числителя:

$\sqrt{121x^4} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{x^4} = 11 \cdot \sqrt{(x^2)^2}$.

Используя правило $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем $\sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $|x^2| = x^2$.

Таким образом, $\sqrt{121x^4} = 11x^2$.

Объединяем результаты:

$\frac{\sqrt{121x^4}}{\sqrt{64}} = \frac{11x^2}{8}$

Ответ: $\frac{11x^2}{8}$

3)

Дано выражение $\sqrt{\frac{1}{4a^2}}$ и условие $a > 0$.

Применяем свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{1}{4a^2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4a^2}}$

Корень из числителя: $\sqrt{1} = 1$.

Корень из знаменателя: $\sqrt{4a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} = 2 \cdot |a|$.

Поскольку по условию $a > 0$, то модуль $|a|$ раскрывается как $a$.

Следовательно, $\sqrt{4a^2} = 2a$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{1}{2a}$

Ответ: $\frac{1}{2a}$

4)

Дано выражение $\sqrt{\frac{400}{a^2}}$ и условие $a < 0$.

Применяем свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{400}{a^2}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{a^2}}$

Корень из числителя: $\sqrt{400} = 20$.

Корень из знаменателя: $\sqrt{a^2} = |a|$.

По условию задачи $a < 0$. По определению модуля, если число отрицательное, его модуль равен противоположному ему числу. То есть, $|a| = -a$ при $a < 0$.

Например, если $a = -5$, то $|-5| = 5 = -(-5)$.

Следовательно, $\sqrt{a^2} = -a$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{20}{-a} = -\frac{20}{a}$

Ответ: $-\frac{20}{a}$