Страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. В испытании металлов на твёрдость по методу вдавливания Бринелля в качестве наконечника давящего инструмента используется стальной шарик диаметром D, а результат оценивается при измерении силы вдавливания шарика F и диаметра d основания полученного отпечатка (рис. 47). Формула твёрдости металла T, рассчитанная по этому методу, имеет вид

$T = \frac{2F}{\pi D(D - \sqrt{D^2 - d^2})}$

Вычислить с точностью до 1 Н/мм² твёрдость металла, если:

1) F=1000 Н, D=10 мм, d=3 мм;

2) F=1000 Н, D=10 мм, d=4 мм.

1) Для вычисления твёрдости металла (T) по методу Бринелля используется формула:

$T = \frac{2F}{\pi D(D - \sqrt{D^2 - d^2})}$

Подставим в неё заданные значения для первого случая: $F=1000$ Н, $D=10$ мм и $d=3$ мм.

$T = \frac{2 \cdot 1000}{\pi \cdot 10 \cdot (10 - \sqrt{10^2 - 3^2})}$

Упростим выражение:

$T = \frac{2000}{10\pi (10 - \sqrt{100 - 9})} = \frac{200}{\pi(10 - \sqrt{91})}$

Произведём вычисления. Значение корня $\sqrt{91} \approx 9.53939$.

$T \approx \frac{200}{\pi(10 - 9.53939)} = \frac{200}{\pi \cdot 0.46061} \approx \frac{200}{1.44705} \approx 138.21$ Н/мм²

Согласно условию, необходимо вычислить твёрдость с точностью до 1 Н/мм², что означает округление до целого числа.

$T \approx 138$ Н/мм²

Ответ: 138 Н/мм²

2) Теперь подставим в ту же формулу значения для второго случая: $F=1000$ Н, $D=10$ мм и $d=4$ мм.

$T = \frac{2 \cdot 1000}{\pi \cdot 10 \cdot (10 - \sqrt{10^2 - 4^2})}$

Упростим выражение:

$T = \frac{2000}{10\pi (10 - \sqrt{100 - 16})} = \frac{200}{\pi(10 - \sqrt{84})}$

Произведём вычисления. Значение корня $\sqrt{84} \approx 9.16515$.

$T \approx \frac{200}{\pi(10 - 9.16515)} = \frac{200}{\pi \cdot 0.83485} \approx \frac{200}{2.62276} \approx 76.25$ Н/мм²

Округляем полученное значение до целого числа.

$T \approx 76$ Н/мм²

Ответ: 76 Н/мм²

от передающей антенны, на котором можно принять телепередачу, находится по формуле $S = 4,12(\sqrt{H} + \sqrt{h})$, где H — высота (м), на которой находится передающая антенна, h — высота (м), на которой находится приёмная антенна. Вычислить расстояние S с точностью до 0,1 км, если H = 380 м, h = 30 м.

Для решения задачи воспользуемся формулой, указанной в условии:

$S = 4,12(\sqrt{H} + \sqrt{h})$

где $S$ — наибольшее расстояние в километрах (км), $H$ — высота передающей антенны в метрах (м), а $h$ — высота приёмной антенны в метрах (м).

По условию задачи нам даны следующие значения:

$H = 380$ м

$h = 30$ м

Подставим эти значения в формулу для нахождения расстояния $S$:

$S = 4,12(\sqrt{380} + \sqrt{30})$

Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{380} \approx 19,4936$

$\sqrt{30} \approx 5,4772$

Теперь выполним сложение в скобках:

$19,4936 + 5,4772 = 24,9708$

Умножим полученную сумму на коэффициент 4,12:

$S \approx 4,12 \times 24,9708 \approx 102,8797$ км

Требуется вычислить расстояние $S$ с точностью до 0,1 км. Для этого округлим полученный результат до одного знака после запятой.

$S \approx 102,9$ км

Ответ: 102,9 км.

3. Время t половинного слива наполненной водой горизонтально расположенной цилиндрической цистерны диаметром D и длиной l через круглое отверстие диаметром d в дне цистерны

(рис. 48) находится по формуле $t = \frac{4lD\sqrt{D}}{3\pi md^2\sqrt{g}}$, где $g$ — ускорение свободного падения, $m$ — коэффициент расхода отверстия. Найти с точностью до 1 с время половинного слива цистерны (приняв $m=0,6$, $g=10$ м/с^2), если:

1) D=1 м, d=0,05 м, l=1,5 м;

2) D=2 м, d=0,1 м, l=5 м.

Рис. 48

Для решения задачи воспользуемся формулой, данной в условии:

$t = \frac{4lD\sqrt{D}}{3\pi md^2\sqrt{g}}$

где $m = 0,6$ и $g = 10$ м/с².

1)

В первом случае даны следующие параметры: $D=1$ м, $d=0,05$ м, $l=1,5$ м.

Подставим эти значения в формулу:

$t = \frac{4 \cdot 1,5 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}}{3 \cdot \pi \cdot 0,6 \cdot (0,05)^2 \cdot \sqrt{10}}$

Произведем вычисления:

$t = \frac{6}{3 \cdot \pi \cdot 0,6 \cdot 0,0025 \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{0,0045 \cdot \pi \cdot \sqrt{10}}$

Используя приближенные значения $\pi \approx 3,14159$ и $\sqrt{10} \approx 3,16228$, получим:

$t \approx \frac{6}{0,0045 \cdot 3,14159 \cdot 3,16228} \approx \frac{6}{0,044695} \approx 134,24$ с.

Округляя результат с точностью до 1 секунды, получаем:

Ответ: 134 с.

2)

Во втором случае параметры следующие: $D=2$ м, $d=0,1$ м, $l=5$ м.

Подставляем значения в ту же формулу:

$t = \frac{4 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{3 \cdot \pi \cdot 0,6 \cdot (0,1)^2 \cdot \sqrt{10}} = \frac{40\sqrt{2}}{3 \cdot \pi \cdot 0,6 \cdot 0,01 \cdot \sqrt{10}}$

Упростим выражение:

$t = \frac{40\sqrt{2}}{0,018 \cdot \pi \cdot \sqrt{10}}$

Выполним вычисление, используя $\sqrt{2} \approx 1,41421$, $\pi \approx 3,14159$ и $\sqrt{10} \approx 3,16228$:

$t \approx \frac{40 \cdot 1,41421}{0,018 \cdot 3,14159 \cdot 3,16228} \approx \frac{56,5684}{0,17878} \approx 316,41$ с.

Округляя результат с точностью до 1 секунды, получаем:

Ответ: 316 с.

4. На практике при малых значениях

положительного числа $a$ приближённые значения выражений $\sqrt{1+a}$ и $\sqrt{1-a}$ находят по формулам $\sqrt{1+a} \approx 1+\frac{a}{2}$ и $\sqrt{1-a} \approx 1-\frac{a}{2}$ соответственно. Используя эти

формулы, найти:

и сравнить полученное

число со значением заданного выражения, найденным с точностью до 0,001 при помощи калькулятора.

1)

Для нахождения приближенного значения выражения $ \sqrt{1,004} $ используем формулу приближенного вычисления $ \sqrt{1+a} \approx 1+\frac{a}{2} $, которая справедлива для малых значений $ a $.

Сначала представим подкоренное выражение в виде $ 1+a $: $ 1,004 = 1 + 0,004 $.

В данном случае $ a = 0,004 $. Это значение является малым, поэтому мы можем применить формулу.

Подставляем значение $ a $ в формулу: $ \sqrt{1,004} = \sqrt{1+0,004} \approx 1+\frac{0,004}{2} = 1+0,002 = 1,002 $.

Теперь вычислим значение $ \sqrt{1,004} $ на калькуляторе и округлим его с точностью до 0,001: $ \sqrt{1,004} \approx 1,001998... $

При округлении до тысячных получаем $ 1,002 $.

Сравнение показывает, что значение, полученное по формуле (1,002), совпадает со значением, вычисленным на калькуляторе и округленным до 0,001.

Ответ: приближенное значение $ \sqrt{1,004} \approx 1,002 $. Значение, найденное на калькуляторе с точностью до 0,001, также равно 1,002, что подтверждает высокую точность приближенной формулы для малых $ a $.

2)

Для нахождения приближенного значения выражения $ \sqrt{0,992} $ используем формулу $ \sqrt{1-a} \approx 1-\frac{a}{2} $.

Представим подкоренное выражение в виде $ 1-a $: $ 0,992 = 1 - 0,008 $.

Отсюда $ a = 0,008 $. Это малое положительное число, поэтому формула применима.

Подставляем значение $ a $ в формулу: $ \sqrt{0,992} = \sqrt{1-0,008} \approx 1-\frac{0,008}{2} = 1-0,004 = 0,996 $.

Теперь вычислим значение $ \sqrt{0,992} $ на калькуляторе и округлим его с точностью до 0,001: $ \sqrt{0,992} \approx 0,995991... $

При округлении до тысячных получаем $ 0,996 $.

Сравнение показывает, что и в этом случае значение, полученное по формуле (0,996), совпадает со значением, вычисленным на калькуляторе и округленным до 0,001.

Ответ: приближенное значение $ \sqrt{0,992} \approx 0,996 $. Значение, найденное на калькуляторе с точностью до 0,001, также равно 0,996.