Страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

444. Вычислить:

1) $(\sqrt{3})^2$;

2) $(\sqrt{0,1})^2$;

3) $(\sqrt{\frac{5}{12}})^2$;

4) $(\sqrt{3\frac{1}{3}})^2.

1) Для вычисления выражения $(\sqrt{3})^2$ используется основное свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ верно равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. В данном случае $a=3$, поэтому мы получаем:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Ответ: 3

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$. Здесь $a = 0,1$. Следовательно:

$(\sqrt{0,1})^2 = 0,1$

Ответ: 0,1

3) Для выражения $(\sqrt{\frac{5}{12}})^2$ также используется свойство $(\sqrt{a})^2 = a$. В этом примере $a = \frac{5}{12}$, поэтому:

$(\sqrt{\frac{5}{12}})^2 = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

4) В данном случае мы имеем дело с выражением вида $\sqrt{a^2}$. Согласно свойству квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Так как число $3\frac{1}{3}$ является положительным, его модуль равен самому числу.

$\sqrt{(3\frac{1}{3})^2} = |3\frac{1}{3}| = 3\frac{1}{3}$

Можно также предварительно преобразовать смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$. Тогда:

$\sqrt{(\frac{10}{3})^2} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$

445. Что больше:

1) $\sqrt{17}$ или $\sqrt{82}$;

2) $\sqrt{0,2}$ или $\sqrt{0,3}$;

3) $3$ или $\sqrt{10}$;

4) $5$ или $\sqrt{24}$?

1) Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{82}$, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$. Это означает, что для положительных чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то и $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.

Сравним подкоренные выражения: $17$ и $82$.

Поскольку $82 > 17$, то и $\sqrt{82} > \sqrt{17}$.

Ответ: $\sqrt{82}$ больше, чем $\sqrt{17}$.

2) Аналогично первому пункту, чтобы сравнить $\sqrt{0,2}$ и $\sqrt{0,3}$, мы сравниваем числа под корнем.

Сравним подкоренные выражения: $0,2$ и $0,3$.

Так как $0,3 > 0,2$, то и $\sqrt{0,3} > \sqrt{0,2}$.

Ответ: $\sqrt{0,3}$ больше, чем $\sqrt{0,2}$.

3) Чтобы сравнить число $3$ и $\sqrt{10}$, представим число $3$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат и поместим под знак корня:

$3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{9}$ и $\sqrt{10}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $9$ и $10$.

Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$.

Следовательно, $\sqrt{10} > 3$.

Ответ: $\sqrt{10}$ больше, чем $3$.

4) Чтобы сравнить число $5$ и $\sqrt{24}$, представим число $5$ в виде квадратного корня.

$5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

Теперь сравним $\sqrt{25}$ и $\sqrt{24}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $25$ и $24$.

Так как $25 > 24$, то $\sqrt{25} > \sqrt{24}$.

Следовательно, $5 > \sqrt{24}$.

Ответ: $5$ больше, чем $\sqrt{24}$.

Вычислить (446–449).

446. 1) $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}$;

2) $\sqrt{72 \cdot 6 \cdot 45 \cdot 15}$;

3) $\sqrt{900 \cdot 25 \cdot 1,69}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}$, разложим числа под знаком корня на множители. Это позволит нам найти полные квадраты и упростить извлечение корня. Представим множители в следующем виде: $21 = 3 \cdot 7$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2 \cdot 4$. Подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 4)}$ Теперь сгруппируем одинаковые множители, чтобы образовать квадраты: $\sqrt{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2) \cdot 4} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 4^2}$ Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{4^2} = 3 \cdot 7 \cdot 4$ Вычислим произведение: $3 \cdot 7 \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84$. Ответ: 84.

2) Для вычисления выражения $\sqrt{72 \cdot 6 \cdot 45 \cdot 15}$ также применим метод разложения на множители. Разложим каждое число под корнем: $72 = 2 \cdot 36$ $6 = 2 \cdot 3$ $45 = 5 \cdot 9$ $15 = 3 \cdot 5$ Подставим разложения в выражение: $\sqrt{(2 \cdot 36) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 5)}$ Сгруппируем множители, выделяя полные квадраты и пары одинаковых чисел: $\sqrt{36 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{36 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 25}$ Извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{36} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ Вычислим полученное произведение: $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = (6 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2 = 30 \cdot 9 \cdot 2 = 270 \cdot 2 = 540$. Ответ: 540.

3) В выражении $\sqrt{900 \cdot 25 \cdot 1.69}$ множители являются удобными для извлечения корня числами. Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$. $\sqrt{900 \cdot 25 \cdot 1.69} = \sqrt{900} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{1.69}$ Вычислим каждый корень отдельно: $\sqrt{900} = 30$, так как $30^2 = 900$. $\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$. $\sqrt{1.69} = 1.3$, так как $1.3^2 = 1.69$. Теперь перемножим полученные значения: $30 \cdot 5 \cdot 1.3 = 150 \cdot 1.3 = 195$. Ответ: 195.

447. 1) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{63};$

2) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{98};$

3) $\sqrt{75} \cdot \sqrt{3};$

4) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{40}.$

1) Для вычисления произведения используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Чтобы упростить вычисление, разложим число 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.
$\sqrt{7} \cdot \sqrt{63} = \sqrt{7 \cdot 63} = \sqrt{7 \cdot (9 \cdot 7)} = \sqrt{9 \cdot 7^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7^2} = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21

2) Сначала упростим каждый корень, вынеся из-под него множитель, который является полным квадратом, а затем перемножим полученные выражения.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
Теперь выполним умножение:
$2\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2} = (2 \cdot 7) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 14 \cdot 2 = 28$.
Ответ: 28

3) Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
$\sqrt{75} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{75 \cdot 3} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3^2} = 5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: 15

4) Применим свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{40} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400}$.
Квадратный корень из 400 равен 20, так как $20^2 = 400$.
$\sqrt{400} = 20$.
Ответ: 20

448. 1) $\frac{4\sqrt{72}}{3\sqrt{8}}$;

2) $\frac{2\sqrt{63}}{\sqrt{28}}$;

3) $\frac{2\sqrt{45}}{\sqrt{80}}$;

4) $\frac{4\sqrt{99}}{9\sqrt{44}}$.

1) Чтобы упростить выражение, вынесем числовые множители и воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Сначала запишем выражение как произведение коэффициентов и частного корней: $\frac{4\sqrt{72}}{3\sqrt{8}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$ Теперь применим свойство корня: $\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{72}{8}}$ Выполним деление под корнем: $\frac{4}{3} \cdot \sqrt{9}$ Извлечем корень из 9 и выполним умножение: $\frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Ответ: $4$

2) Воспользуемся свойством $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, чтобы объединить корни под один знак: $\frac{2\sqrt{63}}{\sqrt{28}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{63}{28}}$ Сократим подкоренное выражение. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 7: $63 = 9 \cdot 7$ и $28 = 4 \cdot 7$. $2 \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 7}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{9}{4}}$ Теперь извлечем корень и вычислим значение: $2 \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Ответ: $3$

3) Применим тот же метод. Сначала объединим корни: $\frac{2\sqrt{45}}{\sqrt{80}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{45}{80}}$ Сократим дробь под корнем. И числитель, и знаменатель делятся на 5: $45 = 9 \cdot 5$ и $80 = 16 \cdot 5$. $2 \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{16 \cdot 5}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{9}{16}}$ Вычисляем итоговое значение: $2 \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Ответ: $\frac{3}{2}$

4) Вынесем коэффициенты за дробь и объединим корни, используя свойство частного корней: $\frac{4\sqrt{99}}{9\sqrt{44}} = \frac{4}{9} \cdot \sqrt{\frac{99}{44}}$ Сократим подкоренную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 11: $99 = 9 \cdot 11$ и $44 = 4 \cdot 11$. $\frac{4}{9} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 11}{4 \cdot 11}} = \frac{4}{9} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}}$ Подставим обратно, извлечем корень и вычислим: $\frac{4}{9} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{12}{18}$ Сократим полученную дробь на 6: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$

449. 1) $\sqrt{2^6}$;

2) $\sqrt{3^6}$;

3) $\sqrt{5^4}$;

4) $\sqrt{6^6}$;

5) $\sqrt{(-3)^6}$;

6) $\sqrt{(-7)^4}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2^8}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$. В данном случае $a=2$ и $2n=8$, следовательно $n=4$.
$\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.
Также можно представить подкоренное выражение как квадрат другого выражения и воспользоваться свойством $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = |2^4| = 2^4 = 16$.
Ответ: 16.

2) Вычислим $\sqrt{3^6}$. Применяем то же свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.
Здесь $a=3$ и $2n=6$, что означает $n=3$.
$\sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27$.
Или через представление в виде квадрата:
$\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = |3^3| = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

3) Вычислим $\sqrt{5^4}$. Аналогично предыдущим примерам:
$\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$.
Или:
$\sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = |5^2| = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

4) Вычислим $\sqrt{6^6}$. Снова используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.
$\sqrt{6^6} = 6^{6/2} = 6^3 = 216$.
Или:
$\sqrt{6^6} = \sqrt{(6^3)^2} = |6^3| = 6^3 = 216$.
Ответ: 216.

5) Вычислим $\sqrt{(-3)^6}$. В этом случае основание степени — отрицательное число. Однако показатель степени 6 является четным числом, поэтому результат возведения в степень будет положительным: $(-3)^6 = 3^6$.
$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6}$.
Далее решаем так же, как и в пункте 2:
$\sqrt{3^6} = 3^3 = 27$.
Альтернативный способ — использовать свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{((-3)^3)^2} = |(-3)^3| = |-27| = 27$.
Ответ: 27.

6) Вычислим $\sqrt{(-7)^4}$. Основание степени отрицательное, но показатель степени 4 — четное число. Следовательно, $(-7)^4 = 7^4$.
$\sqrt{(-7)^4} = \sqrt{7^4}$.
Теперь извлекаем корень:
$\sqrt{7^4} = 7^{4/2} = 7^2 = 49$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(-7)^4} = \sqrt{((-7)^2)^2} = |(-7)^2| = |49| = 49$.
Ответ: 49.