Номер 3, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 174.

Условие.

3. Упростить выражение:

1) $\sqrt{18}-\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{12}-\sqrt{75}$;

3) $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$;

4) $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2$;

5) $(\sqrt{1,31})^2$;

6) $\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}\right)^2$.

Решение 4.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{18} - \sqrt{2}$, сначала упростим член $\sqrt{18}$. Для этого разложим подкоренное число 18 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $18 = 9 \cdot 2$. Теперь можно вынести множитель из-под знака корня:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$3\sqrt{2} - \sqrt{2}$.
Теперь вычтем подобные слагаемые, работая с их коэффициентами:
$(3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{12} - \sqrt{75}$ вынесем множители из-под каждого знака корня.
Для $\sqrt{12}$: $12 = 4 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{75}$: $75 = 25 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь выражение выглядит так:
$2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$.
Выполним вычитание подобных членов:
$(2-5)\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$.
Ответ: $-3\sqrt{3}$

3) Выражение $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$.
Применяем формулу:
$(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$

4) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2$, сначала упростим слагаемые внутри скобок.
Упростим $\sqrt{8}$: $8 = 4 \cdot 2$, значит $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Теперь выражение в скобках равно $2\sqrt{2} + \sqrt{2}$. Сложим подобные члены:
$2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Теперь возведем полученный результат в квадрат:
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Ответ: $18$

5) Выражение $(\sqrt{1,31})^2$ упрощается на основе определения арифметического квадратного корня. Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$.
Так как $1,31$ является неотрицательным числом, то:
$(\sqrt{1,31})^2 = 1,31$.
Ответ: $1,31$

6) Для упрощения выражения $(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}})^2$ можно использовать свойство степени дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Применив это свойство, получим:
$\frac{(\sqrt{5})^2}{(\sqrt{10})^2}$.
Далее, используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$, получим:
$\frac{5}{10}$.
Сократим полученную дробь:
$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$