Номер 4, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 4, страница 174.

Условие.

4. Как избавиться от иррациональности в знаменателе: $ \frac{5}{\sqrt{7}} $; $ \frac{5}{2-\sqrt{7}} $; $ \frac{5}{3+\sqrt{7}} $; $ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} $?

Решение 4.

$ \frac{5}{\sqrt{7}} $
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, когда он представлен одним квадратным корнем, необходимо умножить и числитель, и знаменатель дроби на этот корень. Это действие основано на свойстве $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $.
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{7} $:
$ \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} $
Ответ: $ \frac{5\sqrt{7}}{7} $

$ \frac{5}{2-\sqrt{7}} $
Когда знаменатель является двучленом вида $ a - \sqrt{b} $, для избавления от иррациональности его нужно умножить на сопряженное выражение $ a + \sqrt{b} $. Это позволяет использовать формулу разности квадратов: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $. Чтобы значение дроби не изменилось, на это же выражение нужно умножить и числитель.
Сопряженным выражением для $ 2-\sqrt{7} $ является $ 2+\sqrt{7} $.
$ \frac{5}{2-\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot (2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7}) \cdot (2+\sqrt{7})} = \frac{5(2+\sqrt{7})}{2^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{10+5\sqrt{7}}{4-7} = \frac{10+5\sqrt{7}}{-3} = -\frac{10+5\sqrt{7}}{3} $
Ответ: $ -\frac{10+5\sqrt{7}}{3} $

$ \frac{5}{3+\sqrt{7}} $
Этот случай аналогичен предыдущему. Знаменатель является двучленом вида $ a + \sqrt{b} $. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ a - \sqrt{b} $, чтобы применить формулу разности квадратов.
Сопряженным выражением для $ 3+\sqrt{7} $ является $ 3-\sqrt{7} $.
$ \frac{5}{3+\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot (3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7}) \cdot (3-\sqrt{7})} = \frac{5(3-\sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{15-5\sqrt{7}}{9-7} = \frac{15-5\sqrt{7}}{2} $
Ответ: $ \frac{15-5\sqrt{7}}{2} $

$ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} $
Здесь знаменатель представляет собой сумму двух квадратных корней $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $. Принцип остается тем же: умножение на сопряженное выражение $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ и использование формулы разности квадратов.
Сопряженным выражением для $ \sqrt{3}+\sqrt{7} $ является $ \sqrt{3}-\sqrt{7} $.
$ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{7}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{7})} = \frac{5(\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{3-7} = \frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{-4} = \frac{-(5\sqrt{7}-5\sqrt{3})}{-4} = \frac{5\sqrt{7}-5\sqrt{3}}{4} $
Ответ: $ \frac{5\sqrt{7}-5\sqrt{3}}{4} $