Страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать теорему о корне из произведения двух неотрицательных чисел.

1. Теорема о корне из произведения двух неотрицательных чисел формулируется следующим образом: корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.

Математически эта теорема записывается в виде формулы. Если даны два неотрицательных числа $a$ и $b$, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то для них справедливо равенство:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Доказательство теоремы:

По определению арифметического квадратного корня из числа $x$, это такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, $\sqrt{x} = y$ при выполнении двух условий: $y \ge 0$ и $y^2 = x$.

Чтобы доказать равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, нам нужно проверить, что выражение в правой части, то есть $\sqrt{a}\sqrt{b}$, удовлетворяет этим двум условиям для подкоренного выражения $ab$.

1. Проверка неотрицательности.

По условию теоремы, числа $a$ и $b$ неотрицательны ($a \ge 0$ и $b \ge 0$). По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда является неотрицательным числом. Следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполнено.

2. Проверка равенства квадрата подкоренному выражению.

Возведем выражение $\sqrt{a}\sqrt{b}$ в квадрат. Используя свойство степени произведения, получаем: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$.

По определению квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $(\sqrt{x})^2 = x$. Значит, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.

Таким образом, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$. Второе условие выполнено.

Так как оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются для выражения $\sqrt{a}\sqrt{b}$, мы доказали, что $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: Теорема о корне из произведения: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ ($a \ge 0, b \ge 0$) справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, то есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

2. Сформулировать теорему о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел.

Теорема о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел формулируется следующим образом: корень n-ой степени из произведения нескольких неотрицательных сомножителей равен произведению корней n-ой степени из этих сомножителей.

В виде формулы это свойство записывается так. Если даны $m$ неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_m$ (то есть $a_i \ge 0$ для всех $i$ от 1 до $m$) и натуральное число $n \ge 2$ (показатель корня), то справедливо равенство:

$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_m} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdot \dots \cdot \sqrt[n]{a_m}$

Например, для частного, но наиболее распространенного случая — квадратного корня ($n=2$) из произведения двух чисел — теорема гласит, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ ($a \ge 0, b \ge 0$) верно:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Ключевым условием применения этой теоремы является неотрицательность всех сомножителей под знаком корня. Если под корнем четной степени (квадратным, четвертой степени и т.д.) окажется отрицательное число, то в области действительных чисел такой корень не определен, и теорема в ее стандартной форме неприменима.

Доказательство для случая квадратного корня из двух сомножителей основывается на определении арифметического квадратного корня. По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$.

Чтобы доказать, что $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a \ge 0$ и $b \ge 0$, проверим, что выражение в правой части ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$) удовлетворяет двум условиям:

1. Оно неотрицательно. Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то и их арифметические корни $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$.
2. Его квадрат равен подкоренному выражению $ab$. Возведем правую часть в квадрат: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$.

Оба условия выполнены, следовательно, равенство доказано.

Эта теорема часто используется для упрощения вычислений. Например, чтобы найти $\sqrt{1296}$, можно разложить 1296 на множители: $1296 = 4 \cdot 324$. Используя теорему, получаем:
$\sqrt{1296} = \sqrt{4 \cdot 324} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{324} = 2 \cdot 18 = 36$.

Ответ: Корень n-ой степени из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени из этих чисел. Формула: если $a_1, a_2, \dots, a_m$ — неотрицательные числа ($a_i \ge 0$) и $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), то $\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_m} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdot \dots \cdot \sqrt[n]{a_m}$.

3. Можно ли произведение корней из неотрицательных чисел заменить корнем из произведения этих чисел?

Да, можно. Это утверждение является одним из основных свойств арифметического квадратного корня. Оно формулируется в виде тождества, справедливого для любых неотрицательных чисел.

Свойство гласит: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.Это означает, что корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Соответственно, и обратное верно: произведение корней из неотрицательных чисел можно заменить корнем из их произведения.

Доказательство:

По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, должно выполняться два условия: $y \ge 0$ и $y^2 = x$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Проверим для него оба условия:

1. Неотрицательность. Так как $a$ и $b$ — неотрицательные числа, то их арифметические корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ также по определению неотрицательны. Произведение двух неотрицательных чисел $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является неотрицательным числом.

2. Возведение в квадрат. Возведем наше выражение в квадрат, используя свойство степени произведения:$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$.По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.Следовательно, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$.

Таким образом, мы показали, что выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является неотрицательным числом, квадрат которого равен $a \cdot b$. Это в точности соответствует определению арифметического квадратного корня из числа $a \cdot b$. Значит, равенство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ доказано.

Пример:

Проверим равенство на числах $a = 16$ и $b = 25$.
Произведение корней: $\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 4 \cdot 5 = 20$.
Корень из произведения: $\sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20$.
Результаты совпадают, что подтверждает справедливость свойства.

Важное замечание: данное свойство выполняется только для неотрицательных чисел. Для отрицательных чисел в поле действительных чисел корень не определен, а в поле комплексных чисел это тождество, в общем случае, неверно.

Ответ: Да, произведение корней из неотрицательных чисел можно заменить корнем из произведения этих чисел. Это следует из свойства арифметического квадратного корня: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

4. Привести числовой пример:

1) вынесения множителя из-под знака корня;

2) внесения множителя под знак корня.

1) вынесения множителя из-под знака корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это упрощение выражения, при котором подкоренное число раскладывается на множители так, чтобы из одного или нескольких из них можно было точно извлечь корень. Это преобразование основано на свойстве корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$).

Приведем числовой пример для выражения $\sqrt{72}$.

1. Разложим подкоренное число 72 на множители, один из которых является полным квадратом. Например, 72 можно представить как $36 \cdot 2$. Множитель 36 является квадратом числа 6 ($6^2 = 36$).

2. Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$

3. Извлечем корень из 36:

$\sqrt{36} = 6$

4. В результате получаем:

$6 \cdot \sqrt{2}$ или просто $6\sqrt{2}$

Таким образом, множитель 6 был вынесен из-под знака корня.

Ответ: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

2) внесения множителя под знак корня

Внесение множителя под знак корня — это операция, обратная вынесению. Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Это следует из правила: $c \cdot \sqrt{b} = \sqrt{c^2 \cdot b}$ (при $c \ge 0$).

Приведем числовой пример для выражения $5\sqrt{3}$.

1. Множитель, стоящий перед корнем, — это 5.

2. Чтобы внести его под знак корня, возведем его в квадрат:

$5^2 = 25$

3. Теперь умножим полученное число на подкоренное выражение (в данном случае на 3) под общим знаком корня:

$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3}$

4. Выполним умножение под корнем:

$\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Таким образом, множитель 5 был внесен под знак корня.

Ответ: $5\sqrt{3} = \sqrt{75}$.

5. Какое преобразование можно выполнить, чтобы сравнить значения выражений:

1) $5\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}$;

2) $2\sqrt{18}$ и $3\sqrt{8}$?

Для сравнения значений выражений, содержащих множитель перед корнем, можно выполнить преобразование внесения множителя под знак корня. Это преобразование основано на свойстве $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ (для $a \ge 0$). После того как оба выражения будут приведены к виду $\sqrt{x}$, их можно сравнить, сравнивая подкоренные выражения. Большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

1) $5\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}$

Выполним преобразование для каждого выражения:

Для первого выражения $5\sqrt{5}$: внесем множитель 5 под знак корня.
$5\sqrt{5} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{125}$.

Для второго выражения $3\sqrt{7}$: внесем множитель 3 под знак корня.
$3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{125}$ и $\sqrt{63}$.
Поскольку подкоренное выражение $125$ больше, чем $63$, то и $\sqrt{125} > \sqrt{63}$.

Следовательно, $5\sqrt{5} > 3\sqrt{7}$.

Ответ: $5\sqrt{5} > 3\sqrt{7}$.

2) $2\sqrt{18}$ и $3\sqrt{8}$

Применим то же преобразование — внесение множителя под знак корня.

Для первого выражения $2\sqrt{18}$:
$2\sqrt{18} = \sqrt{2^2 \cdot 18} = \sqrt{4 \cdot 18} = \sqrt{72}$.

Для второго выражения $3\sqrt{8}$:
$3\sqrt{8} = \sqrt{3^2 \cdot 8} = \sqrt{9 \cdot 8} = \sqrt{72}$.

Сравним полученные результаты: $\sqrt{72}$ и $\sqrt{72}$.
Подкоренные выражения равны, значит, и сами выражения равны.

Следовательно, $2\sqrt{18} = 3\sqrt{8}$.

Ответ: $2\sqrt{18} = 3\sqrt{8}$.

1. Вычислить:

1) $5 \cdot \sqrt{49};$

2) $-10 \cdot \sqrt{(-10)^2};$

3) $-7 \cdot \sqrt{(-2)^4};$

4) $\sqrt{3 \cdot 27}.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $5 \cdot \sqrt{49}$, необходимо найти значение квадратного корня из 49. Арифметический квадратный корень из 49 равен 7, поскольку $7^2 = 49$. После этого умножим 5 на полученное значение.
$5 \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35$.
Ответ: 35

2) Для вычисления $-10 \cdot \sqrt{(-10)^2}$ сначала выполним действие под знаком корня. Возведем число -10 в квадрат: $(-10)^2 = 100$. Теперь выражение имеет вид $-10 \cdot \sqrt{100}$. Квадратный корень из 100 равен 10. Далее умножим -10 на 10.
$-10 \cdot \sqrt{(-10)^2} = -10 \cdot \sqrt{100} = -10 \cdot 10 = -100$.
Также можно применить тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, согласно которому $\sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10$. Результат будет таким же: $-10 \cdot 10 = -100$.
Ответ: -100

3) В выражении $-7 \cdot \sqrt{(-2)^4}$ начнем с вычисления подкоренного выражения. Возведем -2 в четвертую степень: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$. Теперь выражение можно записать как $-7 \cdot \sqrt{16}$. Квадратный корень из 16 равен 4. Умножим -7 на 4.
$-7 \cdot \sqrt{(-2)^4} = -7 \cdot \sqrt{16} = -7 \cdot 4 = -28$.
Ответ: -28

4) Чтобы вычислить произведение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$, применим свойство корней, которое гласит, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81}$.
Квадратный корень из 81 равен 9, так как $9^2 = 81$.
Ответ: 9

2. Записать в виде квадрата числа: 25; 121; 1,69; 22 500.

Чтобы записать число в виде квадрата другого числа, необходимо найти квадратный корень из исходного числа. Квадратный корень из числа x — это число y, такое что $y^2 = x$.

25

Найдем число, квадрат которого равен 25. Для этого извлечем квадратный корень из 25.

$\sqrt{25} = 5$

Проверим: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Следовательно, 25 можно представить как квадрат числа 5.

Ответ: $25 = 5^2$.

121

Найдем число, квадрат которого равен 121. Это будет квадратный корень из 121.

$\sqrt{121} = 11$

Проверим: $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

Таким образом, 121 является квадратом числа 11.

Ответ: $121 = 11^2$.

1,69

Найдем число, квадрат которого равен 1,69. Для этого извлечем квадратный корень из 1,69. Можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной:

$1,69 = \frac{169}{100}$

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя:

$\sqrt{1,69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} = 1,3$

Проверим: $1,3^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$.

Значит, 1,69 — это квадрат числа 1,3.

Ответ: $1,69 = 1,3^2$.

22 500

Найдем число, квадрат которого равен 22 500. Для удобства вычисления представим число 22 500 как произведение $225 \cdot 100$.

$\sqrt{22\ 500} = \sqrt{225 \cdot 100} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{100}$

Мы знаем, что $\sqrt{225} = 15$ и $\sqrt{100} = 10$.

Следовательно, $\sqrt{22\ 500} = 15 \cdot 10 = 150$.

Проверим: $150^2 = 150 \cdot 150 = 22 500$.

Итак, 22 500 — это квадрат числа 150.

Ответ: $22\ 500 = 150^2$.

3. Представить в виде произведения квадратов двух натуральных чисел произведение $45 \cdot 5$; $7 \cdot 63$; $3 \cdot 48$.

45·5

Чтобы представить данное произведение в виде произведения квадратов двух натуральных чисел, разложим его сомножители на простые множители, чтобы выявить полные квадраты.

Разложим число 45 на множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Теперь подставим полученное разложение в исходное произведение:

$45 \cdot 5 = (3^2 \cdot 5) \cdot 5 = 3^2 \cdot (5 \cdot 5) = 3^2 \cdot 5^2$.

Таким образом, произведение представлено в виде произведения квадратов двух натуральных чисел: 3 и 5.

Ответ: $3^2 \cdot 5^2$.

7·63

Действуем аналогично предыдущему пункту. Разложим число 63 на множители, выделяя полный квадрат.

Разложение числа 63: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.

Подставим это разложение в исходное произведение:

$7 \cdot 63 = 7 \cdot (3^2 \cdot 7) = 3^2 \cdot (7 \cdot 7) = 3^2 \cdot 7^2$.

Таким образом, произведение представлено в виде произведения квадратов двух натуральных чисел: 3 и 7.

Ответ: $3^2 \cdot 7^2$.

3·48

Разложим число 48 на множители, стараясь выделить полный квадрат.

Разложение числа 48: $48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$.

Теперь подставим это разложение в исходное произведение:

$3 \cdot 48 = 3 \cdot (4^2 \cdot 3) = 4^2 \cdot (3 \cdot 3) = 4^2 \cdot 3^2$.

Таким образом, произведение представлено в виде произведения квадратов двух натуральных чисел: 4 и 3.

Ответ: $4^2 \cdot 3^2$.

4. Выполнить умножение:

1) $a^2 \cdot \frac{b}{a}$;

2) $4b^2 \cdot \frac{a^2}{b}$;

3) $\frac{y^2}{x^2} \cdot 3x.$

1) Чтобы выполнить умножение одночлена $a^2$ на алгебраическую дробь $\frac{b}{a}$, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1. Затем выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели.
$a^2 \cdot \frac{b}{a} = \frac{a^2}{1} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a^2 \cdot b}{1 \cdot a} = \frac{a^2b}{a}$.
Теперь необходимо сократить полученную дробь. Для этого можно сократить числитель и знаменатель на общий множитель $a$. Вспомним свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{a^2b}{a} = a^{2-1}b = a^1b = ab$.
Ответ: $ab$.

2) Аналогично первому примеру, представим множитель $4b^2$ в виде дроби и выполним умножение.
$4b^2 \cdot \frac{a^2}{b} = \frac{4b^2}{1} \cdot \frac{a^2}{b} = \frac{4b^2 \cdot a^2}{1 \cdot b} = \frac{4a^2b^2}{b}$.
Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $b$.
$\frac{4a^2b^2}{b} = 4a^2b^{2-1} = 4a^2b^1 = 4a^2b$.
Ответ: $4a^2b$.

3) Выполним умножение дроби $\frac{y^2}{x^2}$ на одночлен $3x$. Представим $3x$ в виде дроби $\frac{3x}{1}$.
$\frac{y^2}{x^2} \cdot 3x = \frac{y^2}{x^2} \cdot \frac{3x}{1} = \frac{y^2 \cdot 3x}{x^2 \cdot 1} = \frac{3xy^2}{x^2}$.
Сократим полученную дробь на общий множитель $x$.
$\frac{3xy^2}{x^2} = \frac{3y^2}{x^{2-1}} = \frac{3y^2}{x^1} = \frac{3y^2}{x}$.
Ответ: $\frac{3y^2}{x}$.

5. При каких значениях $a$ верно равенство $\sqrt{a^2}=-a;$ $\sqrt{a^2}=a?$

$ \sqrt{a^2} = -a $

Основное свойство арифметического квадратного корня заключается в том, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $ \sqrt{x^2} = |x| $, где $ |x| $ — это модуль (абсолютная величина) числа $x$.

Применяя это свойство, мы можем переписать исходное равенство $ \sqrt{a^2} = -a $ в следующем виде:

$ |a| = -a $

Теперь проанализируем, при каких значениях $a$ это равенство является верным. Вспомним определение модуля:

$ |a| = a $, если $ a \ge 0 $ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).

$ |a| = -a $, если $ a < 0 $ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

Из определения модуля напрямую следует, что равенство $ |a| = -a $ верно для всех отрицательных значений $a$ (когда $ a < 0 $).

Дополнительно проверим значение $ a = 0 $. При $ a = 0 $ имеем: $ |0| = 0 $ и $ -a = -0 = 0 $. Равенство $ 0 = 0 $ является верным.

Объединив результаты, мы приходим к выводу, что исходное равенство верно для всех отрицательных значений $a$ и для $ a = 0 $. Это можно записать в виде неравенства.

Ответ: при $ a \le 0 $.

$ \sqrt{a^2} = a $

Аналогично первому случаю, используем тождество $ \sqrt{a^2} = |a| $. Тогда исходное равенство $ \sqrt{a^2} = a $ можно переписать так:

$ |a| = a $

Снова обратимся к определению модуля. Равенство $ |a| = a $ является верным для всех неотрицательных значений $a$, то есть для всех $ a \ge 0 $.

Если мы рассмотрим случай, когда $ a < 0 $, то по определению модуля $ |a| = -a $. Наше равенство $ |a| = a $ примет вид $ -a = a $. Это уравнение можно решить: $ 2a = 0 $, откуда $ a = 0 $. Однако, это значение не удовлетворяет исходному предположению $ a < 0 $. Следовательно, среди отрицательных чисел решений нет.

Таким образом, равенство $ \sqrt{a^2} = a $ верно только для неотрицательных значений $a$.

Ответ: при $ a \ge 0 $.

407. Вычислить (407—408).

1) $ \sqrt{49 \cdot 25} $;

2) $ \sqrt{0,01 \cdot 169} $;

3) $ \sqrt{625 \cdot 9 \cdot 36} $;

4) $ \sqrt{256 \cdot 0,25 \cdot 81} $.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{49 \cdot 25}$ воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей, то есть $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство:
$\sqrt{49 \cdot 25} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{25} = 7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: 35.

2) Вычислим значение выражения $\sqrt{0,01 \cdot 169}$, используя то же свойство корня из произведения.
$\sqrt{0,01 \cdot 169} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{169}$.
Поскольку $0,1^2 = 0,01$, то $\sqrt{0,01} = 0,1$.
Поскольку $13^2 = 169$, то $\sqrt{169} = 13$.
Следовательно, $\sqrt{0,01} \cdot \sqrt{169} = 0,1 \cdot 13 = 1,3$.
Ответ: 1,3.

3) Для выражения $\sqrt{625 \cdot 9 \cdot 36}$ применим свойство корня из произведения для трех множителей: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
$\sqrt{625 \cdot 9 \cdot 36} = \sqrt{625} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{36}$.
Находим значения корней: $\sqrt{625} = 25$, $\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{36} = 6$.
Перемножаем полученные значения: $25 \cdot 3 \cdot 6 = 75 \cdot 6 = 450$.
Ответ: 450.

4) Вычислим значение выражения $\sqrt{256 \cdot 0,25 \cdot 81}$.
$\sqrt{256 \cdot 0,25 \cdot 81} = \sqrt{256} \cdot \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{81}$.
Находим значения корней: $\sqrt{256} = 16$, $\sqrt{0,25} = 0,5$, $\sqrt{81} = 9$.
Перемножаем полученные значения: $16 \cdot 0,5 \cdot 9 = 8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72.