Страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

405. Решить уравнение:

1) $\sqrt{(x-2)^2} = x-2;$

2) $\sqrt{(x-2)^2} = 2-x.$

1) Рассмотрим уравнение $\sqrt{(x - 2)^2} = x - 2$.
Основное свойство квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$. Применим это свойство к левой части нашего уравнения, положив $a = x - 2$.
Уравнение принимает вид:
$|x - 2| = x - 2$.
По определению модуля, равенство вида $|y| = y$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $y \ge 0$.
В нашем случае $y = x - 2$, следовательно, должно выполняться неравенство:
$x - 2 \ge 0$
Решая это неравенство, получаем:
$x \ge 2$.
Таким образом, решением уравнения является любое число $x$, удовлетворяющее этому условию.
Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $\sqrt{(x - 2)^2} = 2 - x$.
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$.
Уравнение преобразуется к виду:
$|x - 2| = 2 - x$.
Обратим внимание, что правая часть уравнения $2 - x$ является противоположным выражением к выражению под модулем: $2 - x = -(x - 2)$.
Таким образом, наше уравнение можно переписать как:
$|x - 2| = -(x - 2)$.
По определению модуля, равенство вида $|y| = -y$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $y \le 0$.
В нашем случае $y = x - 2$, следовательно, должно выполняться неравенство:
$x - 2 \le 0$
Решая это неравенство, получаем:
$x \le 2$.
Следовательно, решением уравнения является любое число $x$, удовлетворяющее этому условию.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

406. Используя идею задачи 4 из текста параграфа, упростить и вычислить на калькуляторе с точностью до 0,01:

1) $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, представим подкоренное выражение $3-2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Идея состоит в том, чтобы найти такие $x$ и $y$, что $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy}$.
Сравнивая левую и правую части, мы получаем систему уравнений: $ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2-3z+2=0$. Корнями этого уравнения являются $z_1=2$ и $z_2=1$.
Пусть $x=2$ и $y=1$. Тогда подкоренное выражение можно записать в виде: $3-2\sqrt{2} = 2+1-2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{2}-\sqrt{1})^2 = (\sqrt{2}-1)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно: $\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то разность $\sqrt{2}-1$ положительна, и знак модуля можно опустить.
Таким образом, мы упростили выражение: $\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$.
Теперь вычислим его значение на калькуляторе с точностью до 0,01: $\sqrt{2}-1 \approx 1.4142... - 1 = 0.4142...$
Округляя до двух знаков после запятой, получаем $0.41$.
Ответ: $\sqrt{2}-1 \approx 0.41$.

2) Чтобы упростить выражение $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$, сначала приведем его к стандартному виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$. Для этого преобразуем член $4\sqrt{5}$: $4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{20}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$.
Как и в предыдущем пункте, ищем представление подкоренного выражения $9-2\sqrt{20}$ в виде полного квадрата разности $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy}$.
Сравнивая выражения, получаем систему уравнений: $ \begin{cases} x+y=9 \\ xy=20 \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2-9z+20=0$. Корнями этого уравнения являются $z_1=5$ и $z_2=4$.
Пусть $x=5$ и $y=4$. Тогда подкоренное выражение можно записать в виде: $9-2\sqrt{20} = 5+4-2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно: $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$.
Поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$, то разность $\sqrt{5}-2$ положительна, и знак модуля можно опустить.
Таким образом, мы упростили выражение: $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{5}-2$.
Теперь вычислим его значение на калькуляторе с точностью до 0,01: $\sqrt{5}-2 \approx 2.2360... - 2 = 0.2360...$
Округляя до двух знаков после запятой, получаем $0.24$.
Ответ: $\sqrt{5}-2 \approx 0.24$.