Страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

388. (Устно.) Какие из указанных чисел являются иррациональными: -2; 1; 0; $\sqrt{11}$; $\sqrt{16}$; -1,7; $\sqrt{17}$; $\frac{4}{5}\sqrt{225}$?

Для того чтобы определить, какие из указанных чисел являются иррациональными, проанализируем каждое из них. Напомним, что рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью. В частности, корень из натурального числа, которое не является точным квадратом, является иррациональным числом.

-2: Это целое число. Все целые числа являются рациональными, так как их можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $-2 = \frac{-2}{1}$. Следовательно, это рациональное число.

1: Это целое число, следовательно, оно рациональное ($1 = \frac{1}{1}$).

0: Это целое число, следовательно, оно рациональное ($0 = \frac{0}{1}$).

$\sqrt{11}$: Число 11 не является точным квадратом какого-либо целого числа. Поэтому $\sqrt{11}$ — иррациональное число.

$\sqrt{16}$: Число 16 является точным квадратом числа 4, поскольку $4^2=16$. Таким образом, $\sqrt{16} = 4$. Число 4 является целым, а значит, и рациональным.

-1,7: Это число является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби: $-1,7 = -\frac{17}{10}$. Следовательно, это рациональное число.

$\sqrt{17}$: Число 17 не является точным квадратом какого-либо целого числа. Поэтому $\sqrt{17}$ — иррациональное число.

$\frac{4}{5}\sqrt{225}$: Упростим данное выражение. Число 225 является точным квадратом числа 15, поскольку $15^2=225$. Следовательно, $\sqrt{225} = 15$. Тогда получаем: $\frac{4}{5}\sqrt{225} = \frac{4}{5} \cdot 15 = 4 \cdot 3 = 12$. Число 12 является целым, а значит, и рациональным.

Проанализировав все числа, делаем вывод, что иррациональными являются те, которые представляют собой корень из числа, не являющегося точным квадратом.

Ответ: иррациональными числами являются $\sqrt{11}$ и $\sqrt{17}$.

389. Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,001:

1) $\sqrt{8}$;

2) $\sqrt{13}$;

3) $\sqrt{6,6}$;

4) $\sqrt{4,3}$;

5) $\sqrt{0,5}$;

6) $\sqrt{0,05}$.

1) Чтобы вычислить $\sqrt{8}$ с точностью до 0,001, необходимо найти значение корня на калькуляторе и округлить результат до тысячных (трех знаков после запятой).
$\sqrt{8} \approx 2,828427...$
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой. В данном случае это цифра 4.
Поскольку $4 < 5$, мы отбрасываем все цифры начиная с четвертой, не изменяя третью цифру после запятой.
Таким образом, $\sqrt{8} \approx 2,828$.
Ответ: $2,828$.

2) Вычислим значение $\sqrt{13}$ на калькуляторе и округлим его до точности 0,001.
$\sqrt{13} \approx 3,605551...$
Четвертая цифра после запятой равна 5.
Поскольку $5 \geq 5$, мы увеличиваем третью цифру после запятой (5) на единицу и отбрасываем все последующие цифры.
Таким образом, $\sqrt{13} \approx 3,606$.
Ответ: $3,606$.

3) Вычислим значение $\sqrt{6,6}$ на калькуляторе с точностью до 0,001.
$\sqrt{6,6} \approx 2,569046...$
Четвертая цифра после запятой - 0.
Поскольку $0 < 5$, третья цифра после запятой (9) остается без изменений.
Таким образом, $\sqrt{6,6} \approx 2,569$.
Ответ: $2,569$.

4) Вычислим значение $\sqrt{4,3}$ на калькуляторе и округлим до тысячных.
$\sqrt{4,3} \approx 2,073644...$
Четвертая цифра после запятой равна 6.
Поскольку $6 \geq 5$, мы увеличиваем третью цифру после запятой (3) на единицу.
Таким образом, $\sqrt{4,3} \approx 2,074$.
Ответ: $2,074$.

5) Вычислим значение $\sqrt{0,5}$ на калькуляторе с точностью до 0,001.
$\sqrt{0,5} \approx 0,707106...$
Четвертая цифра после запятой - 1.
Поскольку $1 < 5$, третья цифра после запятой (7) остается без изменений.
Таким образом, $\sqrt{0,5} \approx 0,707$.
Ответ: $0,707$.

6) Вычислим значение $\sqrt{0,05}$ на калькуляторе и округлим до тысячных.
$\sqrt{0,05} \approx 0,223606...$
Четвертая цифра после запятой равна 6.
Поскольку $6 \geq 5$, мы увеличиваем третью цифру после запятой (3) на единицу.
Таким образом, $\sqrt{0,05} \approx 0,224$.
Ответ: $0,224$.

390. Площадь квадрата равна 12 $m^2$. Найти длину его стороны с точностью до 1 см.

Площадь квадрата ($S$) и длина его стороны ($a$) связаны формулой $S = a^2$. Следовательно, чтобы найти длину стороны, нужно извлечь квадратный корень из площади: $a = \sqrt{S}$.

По условию, площадь квадрата равна $S = 12 \text{ м}^2$. Нам нужно найти длину стороны с точностью до 1 см. Для удобства вычислений переведем площадь из квадратных метров в квадратные сантиметры.

Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10000 \text{ см}^2$.

Тогда площадь квадрата в квадратных сантиметрах равна:

$S = 12 \times 10000 \text{ см}^2 = 120000 \text{ см}^2$

Теперь найдем длину стороны в сантиметрах:

$a = \sqrt{120000} \text{ см}$

Вычислим приближенное значение корня:

$a \approx 346.41016... \text{ см}$

Согласно условию, результат нужно округлить с точностью до 1 см, то есть до целого числа сантиметров. Так как первая цифра после запятой (4) меньше 5, округляем в меньшую сторону (отбрасываем дробную часть).

$a \approx 346 \text{ см}$

Ответ: 346 см.

391. Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,1:

1) $\sqrt{57} + \sqrt{31} - \sqrt{23}$;

2) $\sqrt{87} - \sqrt{54} + \sqrt{17}$;

3) $\sqrt{687 + \sqrt{123}};

4) $\sqrt{801 - \sqrt{250}};

5) $\sqrt{35604 - \sqrt{28}};

6) $\sqrt{6023 + \sqrt{5785}};

7) $\frac{38}{\sqrt{55 - \sqrt{28}}};

8) $\frac{871}{\sqrt{13^2 + 18^2}}.

1) Для вычисления выражения $\sqrt{57} + \sqrt{31} - \sqrt{23}$ с точностью до 0,1, сначала найдем на калькуляторе значения квадратных корней, сохраняя несколько знаков после запятой для промежуточных вычислений:

$\sqrt{57} \approx 7,5498$
$\sqrt{31} \approx 5,5678$
$\sqrt{23} \approx 4,7958$

Теперь выполним арифметические действия:

$7,5498 + 5,5678 - 4,7958 = 13,1176 - 4,7958 = 8,3218$

Округляем полученный результат до десятых (до одного знака после запятой):

$8,3218 \approx 8,3$

Ответ: 8,3

2) Для вычисления выражения $\sqrt{87} - \sqrt{54} + \sqrt{17}$ найдем значения квадратных корней:

$\sqrt{87} \approx 9,3274$
$\sqrt{54} \approx 7,3485$
$\sqrt{17} \approx 4,1231$

Теперь выполним действия вычитания и сложения:

$9,3274 - 7,3485 + 4,1231 = 1,9789 + 4,1231 = 6,102$

Округляем результат до десятых:

$6,102 \approx 6,1$

Ответ: 6,1

3) Для вычисления выражения $\sqrt{687 + \sqrt{123}}$ сначала вычислим значение внутреннего корня:

$\sqrt{123} \approx 11,0905$

Теперь подставим это значение в исходное выражение и выполним сложение:

$687 + 11,0905 = 698,0905$

Далее извлечем корень из полученной суммы:

$\sqrt{698,0905} \approx 26,4214$

Округляем результат до десятых:

$26,4214 \approx 26,4$

Ответ: 26,4

4) Для вычисления выражения $\sqrt{801 - \sqrt{250}}$ начнем с внутреннего корня:

$\sqrt{250} \approx 15,8114$

Выполним вычитание под внешним корнем:

$801 - 15,8114 = 785,1886$

Извлечем корень из результата:

$\sqrt{785,1886} \approx 28,0212$

Округляем до десятых (ноль в конце значащий, так как он показывает точность):

$28,0212 \approx 28,0$

Ответ: 28,0

5) Для вычисления выражения $\sqrt{\sqrt{35604} - \sqrt{28}}$ сначала вычислим значения внутренних корней:

$\sqrt{35604} \approx 188,6902$
$\sqrt{28} \approx 5,2915$

Выполним вычитание под внешним корнем:

$188,6902 - 5,2915 = 183,3987$

Извлечем корень из результата:

$\sqrt{183,3987} \approx 13,5425$

Округляем результат до десятых:

$13,5425 \approx 13,5$

Ответ: 13,5

6) Для вычисления выражения $\sqrt{\sqrt{6023} + \sqrt{5785}}$ начнем с внутренних корней:

$\sqrt{6023} \approx 77,6080$
$\sqrt{5785} \approx 76,0592$

Выполним сложение под внешним корнем:

$77,6080 + 76,0592 = 153,6672$

Извлечем корень из суммы:

$\sqrt{153,6672} \approx 12,3963$

Округляем результат до десятых:

$12,3963 \approx 12,4$

Ответ: 12,4

7) Для вычисления выражения $\frac{38}{\sqrt{\sqrt{55}-\sqrt{28}}}$ начнем с вычисления знаменателя. Сначала найдем значения корней, стоящих под внешним корнем знаменателя:

$\sqrt{55} \approx 7,4162$
$\sqrt{28} \approx 5,2915$

Вычислим разность под внешним корнем знаменателя:

$7,4162 - 5,2915 = 2,1247$

Теперь вычислим значение всего знаменателя, извлекая корень из полученной разности:

$\sqrt{2,1247} \approx 1,4576$

Наконец, выполним деление:

$\frac{38}{1,4576} \approx 26,0702$

Округляем результат до десятых:

$26,0702 \approx 26,1$

Ответ: 26,1

8) Для вычисления выражения $\frac{871}{\sqrt{13^2 + 18^2}}$ сначала выполним действия под корнем в знаменателе. Возведем числа в квадрат:

$13^2 = 169$
$18^2 = 324$

Сложим полученные значения:

$169 + 324 = 493$

Теперь знаменатель имеет вид $\sqrt{493}$. Вычислим его значение:

$\sqrt{493} \approx 22,2036$

Выполним деление:

$\frac{871}{22,2036} \approx 39,2270$

Округляем результат до десятых:

$39,2270 \approx 39,2$

Ответ: 39,2

392. Вычислить с точностью до 0,1 на калькуляторе:

1) $ \frac{39}{\sqrt{5}} + \frac{44}{\sqrt{3}} $;

2) $ \frac{86}{\sqrt{2}} - \frac{23}{\sqrt{3}} $;

3) $ \sqrt{132^2 + 153^2} $;

4) $ \sqrt{189^2 - 65^2} $;

5) $ \sqrt{33^2 + 18^2 - 23^2} $;

6) $ \frac{34}{\sqrt{28^2 - 17^2}} $.

1) Для вычисления выражения $\frac{39}{\sqrt{5}} + \frac{44}{\sqrt{3}}$ с точностью до 0,1 воспользуемся калькулятором. Сначала вычислим значение каждого слагаемого: $\frac{39}{\sqrt{5}} \approx 17.4411$ и $\frac{44}{\sqrt{3}} \approx 25.4033$. Затем сложим полученные значения: $17.4411 + 25.4033 = 42.8444$. Округляем результат до десятых (до одного знака после запятой). Так как следующая цифра 4, что меньше 5, то округляем в меньшую сторону: $42.8444 \approx 42.8$.
Ответ: 42,8

2) Для вычисления выражения $\frac{86}{\sqrt{2}} - \frac{23}{\sqrt{3}}$ с точностью до 0,1 воспользуемся калькулятором. Вычислим значение уменьшаемого и вычитаемого: $\frac{86}{\sqrt{2}} \approx 60.8112$ и $\frac{23}{\sqrt{3}} \approx 13.2791$. Найдем их разность: $60.8112 - 13.2791 = 47.5321$. Округляем результат до десятых. Так как следующая цифра 3, что меньше 5, то округляем в меньшую сторону: $47.5321 \approx 47.5$.
Ответ: 47,5

3) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{132^2 + 153^2}$, сначала выполним действия под корнем. Возведем числа в квадрат: $132^2 = 17424$ и $153^2 = 23409$. Сложим полученные результаты: $17424 + 23409 = 40833$. Теперь извлечем квадратный корень из этой суммы: $\sqrt{40833} \approx 202.0717...$. Округляем результат до десятых. Так как следующая цифра 7, что больше или равно 5, то округляем в большую сторону: $202.0717... \approx 202.1$.
Ответ: 202,1

4) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{189^2 - 65^2}$, можно упростить подкоренное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применим её: $189^2 - 65^2 = (189 - 65)(189 + 65) = 124 \times 254 = 31496$. Теперь извлечем квадратный корень: $\sqrt{31496} \approx 177.4711...$. Округляем результат до десятых. Так как следующая цифра 7, что больше или равно 5, то округляем в большую сторону: $177.4711... \approx 177.5$.
Ответ: 177,5

5) Для вычисления значения выражения $\sqrt{33^2 + 18^2 - 23^2}$, сначала выполним действия под корнем. Возведем числа в квадрат: $33^2 = 1089$, $18^2 = 324$, $23^2 = 529$. Выполним сложение и вычитание: $1089 + 324 - 529 = 1413 - 529 = 884$. Теперь извлечем квадратный корень: $\sqrt{884} \approx 29.7321...$. Округляем результат до десятых. Так как следующая цифра 3, что меньше 5, то округляем в меньшую сторону: $29.7321... \approx 29.7$.
Ответ: 29,7

6) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{34}{\sqrt{28^2 - 17^2}}$, сначала упростим выражение в знаменателе. Используем формулу разности квадратов: $\sqrt{28^2 - 17^2} = \sqrt{(28-17)(28+17)} = \sqrt{11 \times 45} = \sqrt{495}$. Теперь выражение имеет вид $\frac{34}{\sqrt{495}}$. Вычислим значение знаменателя: $\sqrt{495} \approx 22.2486$. Выполним деление: $\frac{34}{22.2486} \approx 1.5281...$. Округляем результат до десятых. Так как следующая цифра 2, что меньше 5, то округляем в меньшую сторону: $1.5281... \approx 1.5$.
Ответ: 1,5

393. Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,01:

1) $\sqrt{5+\sqrt{3+\sqrt{2}}}$;

2) $\sqrt{8+\sqrt{2-1}}$;

3) $\sqrt{6\sqrt{5}-\sqrt{13}}$.

1) Вычислим значение выражения $\sqrt{5 + \sqrt{3 + \sqrt{2}}}$ с точностью до 0,01.
Для этого будем производить вычисления, сохраняя больше знаков после запятой для промежуточных результатов, чтобы обеспечить точность итогового ответа.
1. Сначала вычислим значение самого внутреннего корня: $\sqrt{2} \approx 1,41421$.
2. Затем прибавим 3: $3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1,41421 = 4,41421$.
3. Извлечем корень из полученного результата: $\sqrt{3 + \sqrt{2}} \approx \sqrt{4,41421} \approx 2,10100$.
4. Прибавим 5: $5 + \sqrt{3 + \sqrt{2}} \approx 5 + 2,10100 = 7,10100$.
5. Наконец, извлечем корень из этого числа: $\sqrt{5 + \sqrt{3 + \sqrt{2}}} \approx \sqrt{7,10100} \approx 2,66477$.
Округляя результат до сотых (с точностью до 0,01), мы смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 4. Так как 4 < 5, мы округляем в меньшую сторону.
Ответ: 2,66.

2) Вычислим значение выражения $\sqrt{\sqrt{8 + \sqrt{2}} - 1}$ с точностью до 0,01.
1. Вычислим $\sqrt{2} \approx 1,41421$.
2. Прибавим 8: $8 + \sqrt{2} \approx 8 + 1,41421 = 9,41421$.
3. Извлечем корень: $\sqrt{8 + \sqrt{2}} \approx \sqrt{9,41421} \approx 3,06826$.
4. Вычтем 1: $\sqrt{8 + \sqrt{2}} - 1 \approx 3,06826 - 1 = 2,06826$.
5. Извлечем корень из результата: $\sqrt{\sqrt{8 + \sqrt{2}} - 1} \approx \sqrt{2,06826} \approx 1,43814$.
Округляя результат до сотых, мы смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 8. Так как 8 ≥ 5, мы округляем в большую сторону (увеличиваем вторую цифру после запятой на единицу).
Ответ: 1,44.

3) Вычислим значение выражения $\sqrt{6\sqrt{5} - \sqrt{13}}$ с точностью до 0,01.
1. Вычислим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2,23607$ и $\sqrt{13} \approx 3,60555$.
2. Вычислим произведение $6\sqrt{5} \approx 6 \times 2,23607 = 13,41642$.
3. Вычислим разность под корнем: $6\sqrt{5} - \sqrt{13} \approx 13,41642 - 3,60555 = 9,81087$.
4. Извлечем корень из результата: $\sqrt{6\sqrt{5} - \sqrt{13}} \approx \sqrt{9,81087} \approx 3,13221$.
Округляя результат до сотых, мы смотрим на третью цифру после запятой. Она равна 2. Так как 2 < 5, мы округляем в меньшую сторону.
Ответ: 3,13.