Страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $(4.7)^2$; $(1\frac{1}{3})^2$; $(0.3)^2$.

$(4,7)^2$

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $(4,7)^2$, сначала вычислим его значение:

$(4,7)^2 = 4,7 \times 4,7 = 22,09$.

Число 22,09 находится на числовой оси между целыми числами 22 и 23, так как выполняется неравенство:

$22 < 22,09 < 23$.

Ответ: 22 и 23.

$(1\frac{1}{3})^2$

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится эта дробь, представим ее в виде смешанного числа:

$\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

Число $1\frac{7}{9}$ больше 1, но меньше 2, поэтому оно заключено между целыми числами 1 и 2:

$1 < 1\frac{7}{9} < 2$.

Ответ: 1 и 2.

$(0,3)^2$

Вычислим значение выражения $(0,3)^2$:

$(0,3)^2 = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.

Число 0,09 находится на числовой оси между целыми числами 0 и 1, так как выполняется неравенство:

$0 < 0,09 < 1$.

Ответ: 0 и 1.

394. Верно ли равенство:

1) $\sqrt{5^2}=5;$

2) $\sqrt{(-5)^2}=5;$

3) $\sqrt{(-5)^2}=-5;$

4) $\sqrt{(-5)^2}=|-5|?$

Для проверки равенств воспользуемся определением арифметического квадратного корня и свойством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — модуль числа $a$.

Проверим верность равенства $\sqrt{5^2} = 5$.

Вычислим значение выражения в левой части. Сначала выполним возведение в степень под корнем: $5^2 = 25$.

Теперь извлечем корень: $\sqrt{25} = 5$.

Левая часть равна 5, правая часть также равна 5. Поскольку $5 = 5$, равенство является верным.

Ответ: да, равенство верно.

Проверим верность равенства $\sqrt{(-5)^2} = 5$.

Вычислим левую часть. Возводим -5 в квадрат: $(-5)^2 = 25$.

Извлекаем квадратный корень: $\sqrt{25} = 5$.

Левая часть равна 5, правая часть равна 5. Равенство $5 = 5$ является верным.

Ответ: да, равенство верно.

Проверим верность равенства $\sqrt{(-5)^2} = -5$.

Как мы уже вычислили в предыдущем пункте, левая часть равенства $\sqrt{(-5)^2}$ равна 5.

Правая часть равенства равна -5.

Сравнивая левую и правую части, получаем $5 = -5$, что является неверным утверждением.

Кроме того, по определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) из неотрицательного числа является неотрицательным числом. Результат извлечения корня не может быть отрицательным, поэтому $\sqrt{(-5)^2}$ не может равняться -5.

Ответ: нет, равенство неверно.

Проверим верность равенства $\sqrt{(-5)^2} = |-5|$.

Вычислим левую часть: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Вычислим правую часть. Модуль числа -5 равен 5: $|-5| = 5$.

Сравниваем результаты: левая часть равна 5, и правая часть равна 5. Равенство $5 = 5$ является верным.

Данное равенство иллюстрирует общее свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$.

Ответ: да, равенство верно.

395. Найти значение выражения $\sqrt{x^2}$ при:

1) $x = 1$;

2) $x = 2$;

3) $x = 0$;

4) $x = -2$.

Для решения данной задачи необходимо найти значение выражения $\sqrt{x^2}$ при различных значениях $x$.

Основное свойство, которое мы будем использовать, это тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$. Модуль числа определяется следующим образом:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).

• $|a| = -a$, если $a < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) x=1;

Подставим значение $x=1$ в исходное выражение:

$\sqrt{1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Используя свойство модуля: $\sqrt{1^2} = |1| = 1$.

Ответ: 1

2) x=2;

Подставим значение $x=2$ в исходное выражение:

$\sqrt{2^2} = \sqrt{4} = 2$.

Используя свойство модуля: $\sqrt{2^2} = |2| = 2$.

Ответ: 2

3) x=0;

Подставим значение $x=0$ в исходное выражение:

$\sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$.

Используя свойство модуля: $\sqrt{0^2} = |0| = 0$.

Ответ: 0

4) x=-2.

Подставим значение $x=-2$ в исходное выражение:

$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.

Обратите внимание, что сначала выполняется возведение в квадрат: $(-2)^2 = 4$, а затем извлекается корень. Результат арифметического корня всегда неотрицателен.

Используя свойство модуля: $\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$.

Ответ: 2

396. Вычислить:

1) $\sqrt{3^6}$;

2) $\sqrt{2^8}$;

3) $\sqrt{5^4}$;

4) $\sqrt{11^4}$;

5) $\sqrt{(-3)^4}$;

6) $\sqrt{(-5)^6}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^6}$ воспользуемся свойством квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$ для любого действительного числа $a$ и целого числа $k$. Поскольку показатель степени под корнем является четным числом ($6 = 2 \cdot 3$), мы можем применить это свойство.
Представим выражение в следующем виде:
$\sqrt{3^6} = \sqrt{3^{2 \cdot 3}} = \sqrt{(3^3)^2}$.
Теперь, применяя указанное свойство, получаем:
$\sqrt{(3^3)^2} = |3^3|$.
Вычисляем значение $3^3$:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Поскольку 27 — положительное число, его модуль равен самому числу: $|27| = 27$.
Ответ: 27

2) Для вычисления $\sqrt{2^8}$ используем то же свойство: $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Показатель степени $8$ является четным числом ($8 = 2 \cdot 4$).
$\sqrt{2^8} = \sqrt{2^{2 \cdot 4}} = \sqrt{(2^4)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{(2^4)^2} = |2^4|$.
Вычисляем $2^4$:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Модуль положительного числа 16 равен 16.
Ответ: 16

3) Для вычисления $\sqrt{5^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Показатель степени $4$ является четным числом ($4 = 2 \cdot 2$).
$\sqrt{5^4} = \sqrt{5^{2 \cdot 2}} = \sqrt{(5^2)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{(5^2)^2} = |5^2|$.
Вычисляем $5^2$:
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Модуль числа 25 равен 25.
Ответ: 25

4) Для вычисления $\sqrt{11^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Показатель степени $4$ является четным числом ($4 = 2 \cdot 2$).
$\sqrt{11^4} = \sqrt{11^{2 \cdot 2}} = \sqrt{(11^2)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{(11^2)^2} = |11^2|$.
Вычисляем $11^2$:
$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.
Модуль числа 121 равен 121.
Ответ: 121

5) Для вычисления $\sqrt{(-3)^4}$ можно сначала возвести число в степень. Так как степень четная, результат будет положительным:
$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
Теперь извлекаем корень: $\sqrt{81} = 9$.
Либо можно применить общее свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Здесь $a = -3$, а показатель $4 = 2 \cdot 2$.
$\sqrt{(-3)^4} = \sqrt{(-3)^{2 \cdot 2}} = \sqrt{((-3)^2)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{((-3)^2)^2} = |(-3)^2|$.
Вычисляем выражение под знаком модуля: $(-3)^2 = 9$.
$|9| = 9$.
Ответ: 9

6) Для вычисления $\sqrt{(-5)^6}$ применим свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Здесь $a = -5$, а показатель $6 = 2 \cdot 3$.
$\sqrt{(-5)^6} = \sqrt{(-5)^{2 \cdot 3}} = \sqrt{((-5)^3)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{((-5)^3)^2} = |(-5)^3|$.
Вычислим значение выражения под знаком модуля:
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.
Теперь находим модуль полученного числа:
$|-125| = 125$.
Ответ: 125

397. Упростить:

1) $\sqrt{n^8}$;

2) $\sqrt{x^{12}}$;

3) $\sqrt{a^{14}}$, $a > 0$;

4) $\sqrt{b^6}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{n^8}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Представим подкоренное выражение $n^8$ в виде степени с основанием 2: $n^8 = (n^4)^2$.
Тогда выражение можно переписать и упростить следующим образом:
$\sqrt{n^8} = \sqrt{(n^4)^2} = |n^4|$.
Поскольку показатель степени 4 является четным числом, выражение $n^4$ всегда будет неотрицательным ($n^4 \ge 0$) для любого действительного значения $n$. Следовательно, знак модуля можно опустить, так как $|x| = x$ для $x \ge 0$.
Ответ: $n^4$

2) Упростим выражение $\sqrt{x^{12}}$. По аналогии с предыдущим примером, представим $x^{12}$ как $(x^6)^2$.
$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.
Так как показатель степени 6 — четное число, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Поэтому знак модуля можно убрать.
Ответ: $x^6$

3) Упростим выражение $\sqrt{a^{14}}$ при условии, что $a > 0$.
Представим $a^{14}$ как $(a^7)^2$.
$\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$.
В условии задачи указано, что $a > 0$. Если основание степени положительно, то и любая его степень ($a^7$ в данном случае) будет положительной. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|a^7| = a^7$.
Ответ: $a^7$

4) Упростим выражение $\sqrt{b^6}$.
Представим подкоренное выражение $b^6$ как $(b^3)^2$.
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$.
В данном случае выражение под знаком модуля, $b^3$, имеет нечетную степень (3). Знак этого выражения зависит от знака переменной $b$. Если $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$ и $|b^3| = b^3$. Если $b < 0$, то $b^3 < 0$ и $|b^3| = -b^3$. Поскольку на знак переменной $b$ не наложено никаких ограничений, мы должны оставить ответ со знаком модуля, чтобы он был верным для всех действительных значений $b$.
Ответ: $|b^3|$

398. Найти значение выражения $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$ при:

1) $x=5$;

2) $x=1$;

3) $x=0$;

4) $x=-5$.

Для решения задачи сначала упростим данное выражение $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$.

Выражение под корнем, $x^2 - 2x + 1$, представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=1$, поэтому $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Следовательно, исходное выражение можно переписать как $\sqrt{(x-1)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$), поэтому $\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$.

Теперь подставим заданные значения $x$ в упрощенное выражение $|x-1|$.

1) при $x=5$:

$|x-1| = |5-1| = |4| = 4$.

Ответ: 4

2) при $x=1$:

$|x-1| = |1-1| = |0| = 0$.

Ответ: 0

3) при $x=0$:

$|x-1| = |0-1| = |-1| = 1$.

Ответ: 1

4) при $x=-5$:

$|x-1| = |-5-1| = |-6| = 6$.

Ответ: 6

399. Сравнить числа:

1) 4 и $\sqrt{15}$;

2) 2,7 и $\sqrt{7}$;

3) $\sqrt{3,26}$ и 1,8;

4) $\sqrt{18,49}$ и 4,3.

1) 4 и $\sqrt{15}$

Чтобы сравнить два положительных числа, можно сравнить их квадраты. Если $a > 0$ и $b > 0$, то неравенство $a > b$ равносильно неравенству $a^2 > b^2$.

Возведем число 4 в квадрат: $4^2 = 16$.

Возведем число $\sqrt{15}$ в квадрат: $(\sqrt{15})^2 = 15$.

Сравниваем полученные квадраты: $16 > 15$.

Так как $16 > 15$, то и исходные числа находятся в таком же соотношении: $4 > \sqrt{15}$.

Другой способ — представить число 4 в виде корня: $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$. Теперь сравниваем $\sqrt{16}$ и $\sqrt{15}$. Так как $16 > 15$, то $\sqrt{16} > \sqrt{15}$.

Ответ: $4 > \sqrt{15}$.

2) 2,7 и $\sqrt{7}$

Сравним квадраты этих положительных чисел.

Возведем 2,7 в квадрат: $2,7^2 = 2,7 \times 2,7 = 7,29$.

Возведем $\sqrt{7}$ в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Сравниваем результаты: $7,29 > 7$.

Следовательно, $2,7 > \sqrt{7}$.

Ответ: $2,7 > \sqrt{7}$.

3) $\sqrt{3,26}$ и 1,8

Возведем оба положительных числа в квадрат, чтобы избавиться от знака корня.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{3,26})^2 = 3,26$.

Квадрат второго числа: $1,8^2 = 1,8 \times 1,8 = 3,24$.

Сравниваем полученные значения: $3,26 > 3,24$.

Из этого следует, что $\sqrt{3,26} > 1,8$.

Ответ: $\sqrt{3,26} > 1,8$.

4) $\sqrt{18,49}$ и 4,3

Сравним квадраты данных чисел.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{18,49})^2 = 18,49$.

Квадрат второго числа: $4,3^2 = 4,3 \times 4,3 = 18,49$.

Так как квадраты чисел равны ($18,49 = 18,49$), и оба исходных числа положительны, то сами числа также равны.

Следовательно, $\sqrt{18,49} = 4,3$.

Ответ: $\sqrt{18,49} = 4,3$.

400. Показать, что:

1) $4 < \sqrt{17} < 5$;

2) $3 < \sqrt{10} < 4$;

3) $3,1 < \sqrt{10} < 3,2.$

1) Чтобы доказать двойное неравенство $4 < \sqrt{17} < 5$, возведем все три его части в квадрат. Поскольку все части неравенства — положительные числа, знаки неравенства при этом сохранятся.

$4^2 < (\sqrt{17})^2 < 5^2$

Выполним вычисления:

$16 < 17 < 25$

Полученное двойное неравенство верно, так как $16$ действительно меньше $17$, а $17$ меньше $25$. Следовательно, исходное неравенство $4 < \sqrt{17} < 5$ также является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Чтобы доказать двойное неравенство $3 < \sqrt{10} < 4$, возведем все три его части в квадрат.

$3^2 < (\sqrt{10})^2 < 4^2$

Выполним вычисления:

$9 < 10 < 16$

Полученное двойное неравенство верно, так как $9$ меньше $10$, а $10$ меньше $16$. Следовательно, исходное неравенство $3 < \sqrt{10} < 4$ также является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Чтобы доказать двойное неравенство $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$, возведем все три его части в квадрат.

$(3,1)^2 < (\sqrt{10})^2 < (3,2)^2$

Выполним вычисления:

$(3,1)^2 = 3,1 \cdot 3,1 = 9,61$

$(\sqrt{10})^2 = 10$

$(3,2)^2 = 3,2 \cdot 3,2 = 10,24$

Подставим результаты в неравенство:

$9,61 < 10 < 10,24$

Полученное двойное неравенство верно, так как $9,61$ меньше $10$, а $10$ меньше $10,24$. Следовательно, исходное неравенство $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$ также является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

401. Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

1) $\sqrt{39}$;

2) $\sqrt{160}$;

3) $\sqrt{0,9}$;

4) $\sqrt{8,7}$.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число вида $\sqrt{x}$, необходимо найти такое целое число $n$, что выполняется двойное неравенство $n < \sqrt{x} < n+1$.

Поскольку все части неравенства положительны (для $x > 1$), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знаков неравенства. Получим эквивалентное неравенство: $n^2 < x < (n+1)^2$.

Таким образом, задача сводится к нахождению двух последовательных целых чисел, квадраты которых "окружают" подкоренное выражение.

1) Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{39}$.

Ищем целое число $n$ такое, что $n^2 < 39 < (n+1)^2$.

Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел:

$6^2 = 36$

$7^2 = 49$

Поскольку $36 < 39 < 49$, мы имеем неравенство $6^2 < 39 < 7^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $6 < \sqrt{39} < 7$.

Значит, искомые последовательные целые числа — это 6 и 7.

Ответ: 6 и 7.

2) Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{160}$.

Ищем целое число $n$ такое, что $n^2 < 160 < (n+1)^2$.

Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел:

$12^2 = 144$

$13^2 = 169$

Поскольку $144 < 160 < 169$, мы имеем неравенство $12^2 < 160 < 13^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $12 < \sqrt{160} < 13$.

Значит, искомые последовательные целые числа — это 12 и 13.

Ответ: 12 и 13.

3) Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{0,9}$.

Ищем целое число $n$ такое, что $n^2 < 0,9 < (n+1)^2$.

Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел:

$0^2 = 0$

$1^2 = 1$

Поскольку $0 < 0,9 < 1$, мы имеем неравенство $0^2 < 0,9 < 1^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $0 < \sqrt{0,9} < 1$.

Значит, искомые последовательные целые числа — это 0 и 1.

Ответ: 0 и 1.

4) Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{8,7}$.

Ищем целое число $n$ такое, что $n^2 < 8,7 < (n+1)^2$.

Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 8,7 < 9$, мы имеем неравенство $2^2 < 8,7 < 3^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $2 < \sqrt{8,7} < 3$.

Значит, искомые последовательные целые числа — это 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

402. Упростить:

1) $\sqrt{(4-\sqrt{5})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$;

4) $\sqrt{(\sqrt{15}-4)^2}$.

1) Для упрощения данного выражения используется свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль числа $a$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{(4 - \sqrt{5})^2} = |4 - \sqrt{5}|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $4 - \sqrt{5}$. Для этого сравним числа $4$ и $\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $16 > 5$, то $4 > \sqrt{5}$. Это означает, что разность $4 - \sqrt{5}$ является положительным числом.
Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому:
$|4 - \sqrt{5}| = 4 - \sqrt{5}$.
Ответ: $4 - \sqrt{5}$.

2) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ для упрощения выражения:
$\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$.
Далее определим знак выражения под модулем. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Возведем в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$.
Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Следовательно, разность $\sqrt{5} - 2$ положительна.
По определению модуля для положительных чисел:
$|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 2$.

3) Упростим выражение, применив свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|$.
Определим знак подмодульного выражения. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.
Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Это означает, что разность $\sqrt{3} - 2$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|x| = -x$, если $x < 0$. Таким образом:
$|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2}$ воспользуемся формулой $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} = |\sqrt{15} - 4|$.
Определим знак выражения под знаком модуля. Сравним $\sqrt{15}$ и $4$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{15})^2 = 15$ и $4^2 = 16$.
Так как $15 < 16$, то $\sqrt{15} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{15} - 4$ отрицательна.
Раскрываем модуль отрицательного выражения, меняя знак на противоположный:
$|\sqrt{15} - 4| = -(\sqrt{15} - 4) = -\sqrt{15} + 4 = 4 - \sqrt{15}$.
Ответ: $4 - \sqrt{15}$.

403. Упростить выражение:

1) $\sqrt{(x-5)^2}$ при $x \ge 5;$

2) $\sqrt{(a+3)^2}$ при $a < -3;$

3) $\sqrt{1+4k+4k^2}$ при $k \ge -0,5;$

4) $\sqrt{a^2-6ab+9b^2}$ при $a < 3b.$

1) Упростить выражение $\sqrt{(x-5)^2}$ при $x \ge 5$.

Для упрощения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашему выражению, получим: $\sqrt{(x-5)^2} = |x-5|$.

Далее, чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, стоящего под знаком модуля. По условию задачи $x \ge 5$. Из этого неравенства следует, что $x - 5 \ge 0$.

Так как выражение под знаком модуля является неотрицательным, модуль раскрывается со знаком плюс: $|x-5| = x-5$.

Ответ: $x-5$

2) Упростить выражение $\sqrt{(a+3)^2}$ при $a < -3$.

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Для данного выражения это означает: $\sqrt{(a+3)^2} = |a+3|$.

Теперь определим знак выражения под модулем, используя условие $a < -3$. Перенеся $-3$ в левую часть неравенства, получим $a + 3 < 0$.

Поскольку выражение под знаком модуля отрицательно, по определению модуля, он раскрывается с противоположным знаком: $|a+3| = -(a+3) = -a-3$.

Ответ: $-a-3$

3) Упростить выражение $\sqrt{1+4k+4k^2}$ при $k \ge -0,5$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Заметим, что $1+4k+4k^2$ является полным квадратом. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, получаем: $1+4k+4k^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (2k) + (2k)^2 = (1+2k)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt{(1+2k)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем: $\sqrt{(1+2k)^2} = |1+2k|$.

Рассмотрим знак выражения $1+2k$ при условии $k \ge -0,5$. Умножим обе части неравенства на 2: $2k \ge -1$. Затем прибавим 1 к обеим частям: $2k+1 \ge 0$.

Выражение под модулем неотрицательно, следовательно, $|1+2k| = 1+2k$.

Ответ: $1+2k$

4) Упростить выражение $\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}$ при $a < 3b$.

Подкоренное выражение $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности. Согласно формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, имеем: $a^2 - 6ab + 9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a-3b)^2$.

Тогда исходное выражение принимает вид $\sqrt{(a-3b)^2}$.

Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(a-3b)^2} = |a-3b|$.

Для раскрытия модуля определим знак выражения $a-3b$. По условию $a < 3b$. Вычтем $3b$ из обеих частей неравенства: $a - 3b < 0$.

Так как выражение под знаком модуля отрицательно, модуль раскрывается с противоположным знаком: $|a-3b| = -(a-3b) = -a+3b = 3b-a$.

Ответ: $3b-a$

404. Доказать, что:

1) $a+5-\sqrt{(a-5)^2} = 2a$, если $a \le 5$;

2) $x+y+\sqrt{(x-y)^2} = \begin{cases} 2x, \text{ если } x \ge y, \\ 2y, \text{ если } x < y. \end{cases}$

1) Чтобы доказать тождество $a + 5 - \sqrt{(a - 5)^2} = 2a$ при условии $a \le 5$, мы воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{x^2} = |x|$.

Преобразуем левую часть равенства:

$a + 5 - \sqrt{(a - 5)^2} = a + 5 - |a - 5|$.

Теперь раскроем модуль, используя условие $a \le 5$. Из этого условия следует, что выражение под знаком модуля $a - 5$ является неположительным ($a - 5 \le 0$).

По определению модуля, если $b \le 0$, то $|b| = -b$. Следовательно:

$|a - 5| = -(a - 5) = 5 - a$.

Подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$a + 5 - (5 - a) = a + 5 - 5 + a = 2a$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна $2a$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать тождество $x + y + \sqrt{(x - y)^2} = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge y \\ 2y, & \text{если } x < y \end{cases}$, мы также начнем с упрощения левой части с помощью свойства $\sqrt{b^2} = |b|$.

$x + y + \sqrt{(x - y)^2} = x + y + |x - y|$.

Далее рассмотрим два случая в зависимости от соотношения между $x$ и $y$.

Случай 1: $x \ge y$

В этом случае разность $x - y \ge 0$. Согласно определению модуля, $|x - y| = x - y$.

Подставим это в наше выражение:

$x + y + (x - y) = x + y + x - y = 2x$.

Результат $2x$ совпадает с правой частью тождества для данного случая.

Случай 2: $x < y$

В этом случае разность $x - y < 0$. Согласно определению модуля, $|x - y| = -(x - y) = y - x$.

Подставим это в наше выражение:

$x + y + (y - x) = x + y + y - x = 2y$.

Результат $2y$ совпадает с правой частью тождества для данного случая.

Поскольку мы доказали справедливость равенства для всех возможных соотношений между $x$ и $y$, указанных в условии, тождество доказано.

Ответ: Доказано.