Номер 404, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 404, страница 163.

Условие.

404. Доказать, что:

1) $a+5-\sqrt{(a-5)^2} = 2a$, если $a \le 5$;

2) $x+y+\sqrt{(x-y)^2} = \begin{cases} 2x, \text{ если } x \ge y, \\ 2y, \text{ если } x < y. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать тождество $a + 5 - \sqrt{(a - 5)^2} = 2a$ при условии $a \le 5$, мы воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{x^2} = |x|$.

Преобразуем левую часть равенства:

$a + 5 - \sqrt{(a - 5)^2} = a + 5 - |a - 5|$.

Теперь раскроем модуль, используя условие $a \le 5$. Из этого условия следует, что выражение под знаком модуля $a - 5$ является неположительным ($a - 5 \le 0$).

По определению модуля, если $b \le 0$, то $|b| = -b$. Следовательно:

$|a - 5| = -(a - 5) = 5 - a$.

Подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$a + 5 - (5 - a) = a + 5 - 5 + a = 2a$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна $2a$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать тождество $x + y + \sqrt{(x - y)^2} = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge y \\ 2y, & \text{если } x < y \end{cases}$, мы также начнем с упрощения левой части с помощью свойства $\sqrt{b^2} = |b|$.

$x + y + \sqrt{(x - y)^2} = x + y + |x - y|$.

Далее рассмотрим два случая в зависимости от соотношения между $x$ и $y$.

Случай 1: $x \ge y$

В этом случае разность $x - y \ge 0$. Согласно определению модуля, $|x - y| = x - y$.

Подставим это в наше выражение:

$x + y + (x - y) = x + y + x - y = 2x$.

Результат $2x$ совпадает с правой частью тождества для данного случая.

Случай 2: $x < y$

В этом случае разность $x - y < 0$. Согласно определению модуля, $|x - y| = -(x - y) = y - x$.

Подставим это в наше выражение:

$x + y + (y - x) = x + y + y - x = 2y$.

Результат $2y$ совпадает с правой частью тождества для данного случая.

Поскольку мы доказали справедливость равенства для всех возможных соотношений между $x$ и $y$, указанных в условии, тождество доказано.

Ответ: Доказано.