Номер 403, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 403, страница 163.

Условие.

403. Упростить выражение:

1) $\sqrt{(x-5)^2}$ при $x \ge 5;$

2) $\sqrt{(a+3)^2}$ при $a < -3;$

3) $\sqrt{1+4k+4k^2}$ при $k \ge -0,5;$

4) $\sqrt{a^2-6ab+9b^2}$ при $a < 3b.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростить выражение $\sqrt{(x-5)^2}$ при $x \ge 5$.

Для упрощения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашему выражению, получим: $\sqrt{(x-5)^2} = |x-5|$.

Далее, чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, стоящего под знаком модуля. По условию задачи $x \ge 5$. Из этого неравенства следует, что $x - 5 \ge 0$.

Так как выражение под знаком модуля является неотрицательным, модуль раскрывается со знаком плюс: $|x-5| = x-5$.

Ответ: $x-5$

2) Упростить выражение $\sqrt{(a+3)^2}$ при $a < -3$.

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Для данного выражения это означает: $\sqrt{(a+3)^2} = |a+3|$.

Теперь определим знак выражения под модулем, используя условие $a < -3$. Перенеся $-3$ в левую часть неравенства, получим $a + 3 < 0$.

Поскольку выражение под знаком модуля отрицательно, по определению модуля, он раскрывается с противоположным знаком: $|a+3| = -(a+3) = -a-3$.

Ответ: $-a-3$

3) Упростить выражение $\sqrt{1+4k+4k^2}$ при $k \ge -0,5$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Заметим, что $1+4k+4k^2$ является полным квадратом. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, получаем: $1+4k+4k^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (2k) + (2k)^2 = (1+2k)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt{(1+2k)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем: $\sqrt{(1+2k)^2} = |1+2k|$.

Рассмотрим знак выражения $1+2k$ при условии $k \ge -0,5$. Умножим обе части неравенства на 2: $2k \ge -1$. Затем прибавим 1 к обеим частям: $2k+1 \ge 0$.

Выражение под модулем неотрицательно, следовательно, $|1+2k| = 1+2k$.

Ответ: $1+2k$

4) Упростить выражение $\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}$ при $a < 3b$.

Подкоренное выражение $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности. Согласно формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, имеем: $a^2 - 6ab + 9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a-3b)^2$.

Тогда исходное выражение принимает вид $\sqrt{(a-3b)^2}$.

Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(a-3b)^2} = |a-3b|$.

Для раскрытия модуля определим знак выражения $a-3b$. По условию $a < 3b$. Вычтем $3b$ из обеих частей неравенства: $a - 3b < 0$.

Так как выражение под знаком модуля отрицательно, модуль раскрывается с противоположным знаком: $|a-3b| = -(a-3b) = -a+3b = 3b-a$.

Ответ: $3b-a$