Номер 397, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 397, страница 163.

Условие.

397. Упростить:

1) $\sqrt{n^8}$;

2) $\sqrt{x^{12}}$;

3) $\sqrt{a^{14}}$, $a > 0$;

4) $\sqrt{b^6}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{n^8}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Представим подкоренное выражение $n^8$ в виде степени с основанием 2: $n^8 = (n^4)^2$.
Тогда выражение можно переписать и упростить следующим образом:
$\sqrt{n^8} = \sqrt{(n^4)^2} = |n^4|$.
Поскольку показатель степени 4 является четным числом, выражение $n^4$ всегда будет неотрицательным ($n^4 \ge 0$) для любого действительного значения $n$. Следовательно, знак модуля можно опустить, так как $|x| = x$ для $x \ge 0$.
Ответ: $n^4$

2) Упростим выражение $\sqrt{x^{12}}$. По аналогии с предыдущим примером, представим $x^{12}$ как $(x^6)^2$.
$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.
Так как показатель степени 6 — четное число, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Поэтому знак модуля можно убрать.
Ответ: $x^6$

3) Упростим выражение $\sqrt{a^{14}}$ при условии, что $a > 0$.
Представим $a^{14}$ как $(a^7)^2$.
$\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$.
В условии задачи указано, что $a > 0$. Если основание степени положительно, то и любая его степень ($a^7$ в данном случае) будет положительной. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|a^7| = a^7$.
Ответ: $a^7$

4) Упростим выражение $\sqrt{b^6}$.
Представим подкоренное выражение $b^6$ как $(b^3)^2$.
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$.
В данном случае выражение под знаком модуля, $b^3$, имеет нечетную степень (3). Знак этого выражения зависит от знака переменной $b$. Если $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$ и $|b^3| = b^3$. Если $b < 0$, то $b^3 < 0$ и $|b^3| = -b^3$. Поскольку на знак переменной $b$ не наложено никаких ограничений, мы должны оставить ответ со знаком модуля, чтобы он был верным для всех действительных значений $b$.
Ответ: $|b^3|$