Номер 4, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 4, страница 162.

Условие.

4. Представить всеми возможными способами в виде квадрата целого числа 196; 225; $5^4$; $4^6$.

Решение 4.

196

Чтобы представить число 196 в виде квадрата целого числа, необходимо найти такое целое число $a$, что $a^2 = 196$. Для этого нужно извлечь квадратный корень из 196.
Мы знаем, что $14 \times 14 = 196$, следовательно, $14^2 = 196$.
Также необходимо помнить, что квадрат отрицательного числа является положительным, поэтому $(-14)^2 = (-14) \times (-14) = 196$.
Таким образом, существует два способа представить число 196 в виде квадрата целого числа.
Ответ: $14^2$ и $(-14)^2$.

225

Аналогично, для числа 225 ищем целое число $a$, такое что $a^2 = 225$.
Поскольку число заканчивается на 5, его целый квадратный корень, если он существует, также должен заканчиваться на 5. Проверим число 15: $15^2 = 15 \times 15 = 225$.
Квадрат противоположного числа $(-15)$ также равен 225: $(-15)^2 = 225$.
Ответ: $15^2$ и $(-15)^2$.

5⁴

Чтобы представить число $5^4$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степеней: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Мы можем представить показатель степени 4 как произведение $2 \cdot 2$:
$5^4 = 5^{2 \cdot 2} = (5^2)^2$.
Теперь вычислим значение в скобках: $5^2 = 25$.
Следовательно, $5^4 = 25^2$.
Так же, как и в предыдущих случаях, основание может быть отрицательным: $(-25)^2 = 625$, и $5^4 = 625$.
Ответ: $25^2$ и $(-25)^2$.

4⁶

Для представления числа $4^6$ в виде квадрата воспользуемся тем же свойством степеней.
Представим показатель степени 6 как произведение $3 \cdot 2$:
$4^6 = 4^{3 \cdot 2} = (4^3)^2$.
Вычислим основание степени: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Таким образом, $4^6 = 64^2$.
Второй способ — с отрицательным основанием: $4^6 = (-64)^2$.
Альтернативный способ: Можно сначала преобразовать основание $4 = 2^2$. Тогда $4^6 = (2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}$. Далее, $2^{12} = 2^{6 \cdot 2} = (2^6)^2 = 64^2$, что приводит к тому же результату.
Ответ: $64^2$ и $(-64)^2$.