Номер 3, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 162.

Условие.

3. Обосновать верность равенства $\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} = 3-\sqrt{8}$.

Решение 4.

Для обоснования верности данного равенства необходимо использовать определение арифметического квадратного корня из квадрата числа. Для любого действительного числа $a$ справедливо тождество: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это правило к левой части исходного равенства:

$\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} = |\sqrt{8}-3|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, находящегося внутри него, то есть $\sqrt{8}-3$. Для этого сравним значения $\sqrt{8}$ и $3$.

Сравнение можно провести, возведя оба числа в квадрат:

$(\sqrt{8})^2 = 8$

$3^2 = 9$

Так как $8 < 9$, то и $\sqrt{8} < \sqrt{9}$. Поскольку $\sqrt{9}=3$, мы получаем, что $\sqrt{8} < 3$.

Это означает, что разность $\sqrt{8}-3$ является отрицательным числом:

$\sqrt{8}-3 < 0$

По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно (т.е. $b < 0$), то его модуль равен противоположному выражению: $|b| = -b$.

Применим это к нашему случаю:

$|\sqrt{8}-3| = -(\sqrt{8}-3)$

Раскроем скобки:

$-(\sqrt{8}-3) = -\sqrt{8} + 3 = 3 - \sqrt{8}$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}$ действительно равна $3-\sqrt{8}$. Следовательно, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, так как согласно свойству $\sqrt{a^2}=|a|$, левая часть преобразуется в $|\sqrt{8}-3|$. Поскольку $\sqrt{8} < 3$, выражение $\sqrt{8}-3$ отрицательно, и по определению модуля $|\sqrt{8}-3| = -(\sqrt{8}-3) = 3-\sqrt{8}$.