Номер 4, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 4, страница 162.

Условие.

4. Какое равенство называют тождеством?

Решение 4.

Тождеством в математике называют равенство, которое выполняется (является верным) при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Другими словами, какие бы значения из области определения мы ни подставили вместо переменных, равенство всегда останется истинным.

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменных, при которых и левая, и правая части равенства имеют смысл. Например, для выражения $\frac{1}{x}$ значение $x=0$ является недопустимым, так как деление на ноль не определено.

Примеры тождеств:

• Формулы сокращенного умножения, например, квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это равенство будет верным для любых значений $a$ и $b$.
• Распределительный закон умножения: $c(x+y) = cx + cy$. Равенство справедливо для любых $c, x, y$.
• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Это равенство верно для любого угла $\alpha$.
• Равенство, верное для всех допустимых значений: $\frac{x^2}{x} = x$. Данное равенство является тождеством для всех $x$, кроме $x \neq 0$, так как при $x=0$ левая часть равенства теряет смысл.

Важно отличать тождество от уравнения. Уравнение — это равенство с переменной, которое, как правило, выполняется лишь при некоторых конкретных значениях переменной. Например, $2x - 4 = 6$ является уравнением, так как оно верно только при $x = 5$. Значение $x=5$ называют корнем уравнения. В отличие от уравнения, тождество верно для бесконечного множества значений (всей своей области определения).

Ответ: Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.