Номер 5, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 5, страница 162.

Условие.

5. Сформулировать теорему, которая позволяет сравнивать значения корней.

Решение 4.

Для сравнения значений корней (радикалов) используется теорема, которая основывается на свойстве монотонности функции извлечения корня. Формулировка теоремы и метод ее применения зависят от того, одинаковы или различны показатели корней.

Сравнение корней с одинаковыми показателями

Для случая, когда показатели (степени) у сравниваемых корней одинаковы, теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема: Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n \ge 2$, неравенство $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ выполняется тогда и только тогда, когда $a > b$.

Проще говоря, из двух корней с одинаковыми натуральными показателями больше тот, у которого подкоренное выражение больше. Это свойство следует из того, что функция $y = \sqrt[n]{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$).

Пример: Сравнить $\sqrt[7]{129}$ и $\sqrt[7]{132}$.
Поскольку показатели корней одинаковы (равны 7), мы сравниваем подкоренные выражения: $129 < 132$. На основании теоремы делаем вывод, что $\sqrt[7]{129} < \sqrt[7]{132}$.

Сравнение корней с разными показателями

Если показатели у корней разные, то напрямую применить указанную теорему нельзя. В этом случае необходимо сначала привести корни к общему показателю, используя основное свойство корня, а затем уже их сравнивать. Алгоритм сравнения корней $\sqrt[n]{a}$ и $\sqrt[m]{b}$:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней: $k = \text{НОК}(n, m)$. Это будет новый общий показатель.
2. Найти дополнительные множители для показателей каждого корня: $p = k/n$ и $q = k/m$.
3. Преобразовать каждый корень, приведя его к показателю $k$. Для этого показатель корня и степень подкоренного выражения умножают на соответствующий дополнительный множитель:
   $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot p]{a^p} = \sqrt[k]{a^p}$
   $\sqrt[m]{b} = \sqrt[m \cdot q]{b^q} = \sqrt[k]{b^q}$
4. Сравнить полученные подкоренные выражения $a^p$ и $b^q$, используя теорему для корней с одинаковыми показателями.
5. Сделать вывод об исходных корнях. Если $a^p > b^q$, то и $\sqrt[n]{a} > \sqrt[m]{b}$.

Пример: Сравнить $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[6]{12}$.

1. Находим НОК показателей 4 и 6. $\text{НОК}(4, 6) = 12$. Общий показатель равен 12.

2. Находим дополнительные множители: для первого корня $p = 12 / 4 = 3$; для второго $q = 12 / 6 = 2$.

3. Приводим корни к общему показателю 12:
$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$
$\sqrt[6]{12} = \sqrt[6 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[12]{144}$

4. Теперь сравниваем полученные выражения с одинаковым показателем. Так как $125 < 144$, то $\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{144}$.

5. Следовательно, $\sqrt[4]{5} < \sqrt[6]{12}$.

Ответ: Теорема, позволяющая сравнивать значения корней, гласит: из двух корней с одинаковыми натуральными показателями ($n \ge 2$) больше тот, у которого подкоренное выражение больше. То есть, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, неравенство $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ равносильно неравенству $a > b$. Если показатели корней различны, то для их сравнения необходимо предварительно привести корни к общему показателю, а затем применить эту же теорему.