Номер 2, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 2, страница 162.

Условие.

2. Сравнить:

1) $\sqrt{2}$ и 2;

2) $\sqrt{3}$ и 2;

3) 3 и $\sqrt{5}$;

4) $\sqrt{10}$ и 3.

Решение 4.

1)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{2}$ и $2$, представим число $2$ в виде квадратного корня. Поскольку $2$ – положительное число, мы можем записать его как $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{4}$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных $x$. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Сравним подкоренные выражения: $2 < 4$.

Так как $2 < 4$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{4}$.

Следовательно, $\sqrt{2} < 2$.

Ответ: $\sqrt{2} < 2$.

2)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$ и $2$, можно возвести оба числа в квадрат. Так как оба числа ($\sqrt{3}$ и $2$) положительны, то соотношение между ними будет таким же, как и соотношение между их квадратами.

Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$2^2 = 4$

Теперь сравним полученные результаты: $3 < 4$.

Поскольку $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$.

Ответ: $\sqrt{3} < 2$.

3)

Чтобы сравнить числа $3$ и $\sqrt{5}$, представим число $3$ в виде квадратного корня: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Теперь сравним $\sqrt{9}$ и $\sqrt{5}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $9 > 5$.

Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, и $9 > 5$, то $\sqrt{9} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $3 > \sqrt{5}$.

Ответ: $3 > \sqrt{5}$.

4)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{10}$ и $3$, возведем оба положительных числа в квадрат.

Возводим в квадрат первое число:

$(\sqrt{10})^2 = 10$

Возводим в квадрат второе число:

$3^2 = 9$

Сравниваем полученные квадраты: $10 > 9$.

Так как $10 > 9$, то и исходные числа находятся в таком же соотношении: $\sqrt{10} > 3$.

Ответ: $\sqrt{10} > 3$.