Номер 396, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 396, страница 163.

Условие.

396. Вычислить:

1) $\sqrt{3^6}$;

2) $\sqrt{2^8}$;

3) $\sqrt{5^4}$;

4) $\sqrt{11^4}$;

5) $\sqrt{(-3)^4}$;

6) $\sqrt{(-5)^6}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^6}$ воспользуемся свойством квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$ для любого действительного числа $a$ и целого числа $k$. Поскольку показатель степени под корнем является четным числом ($6 = 2 \cdot 3$), мы можем применить это свойство.
Представим выражение в следующем виде:
$\sqrt{3^6} = \sqrt{3^{2 \cdot 3}} = \sqrt{(3^3)^2}$.
Теперь, применяя указанное свойство, получаем:
$\sqrt{(3^3)^2} = |3^3|$.
Вычисляем значение $3^3$:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Поскольку 27 — положительное число, его модуль равен самому числу: $|27| = 27$.
Ответ: 27

2) Для вычисления $\sqrt{2^8}$ используем то же свойство: $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Показатель степени $8$ является четным числом ($8 = 2 \cdot 4$).
$\sqrt{2^8} = \sqrt{2^{2 \cdot 4}} = \sqrt{(2^4)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{(2^4)^2} = |2^4|$.
Вычисляем $2^4$:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Модуль положительного числа 16 равен 16.
Ответ: 16

3) Для вычисления $\sqrt{5^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Показатель степени $4$ является четным числом ($4 = 2 \cdot 2$).
$\sqrt{5^4} = \sqrt{5^{2 \cdot 2}} = \sqrt{(5^2)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{(5^2)^2} = |5^2|$.
Вычисляем $5^2$:
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Модуль числа 25 равен 25.
Ответ: 25

4) Для вычисления $\sqrt{11^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Показатель степени $4$ является четным числом ($4 = 2 \cdot 2$).
$\sqrt{11^4} = \sqrt{11^{2 \cdot 2}} = \sqrt{(11^2)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{(11^2)^2} = |11^2|$.
Вычисляем $11^2$:
$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.
Модуль числа 121 равен 121.
Ответ: 121

5) Для вычисления $\sqrt{(-3)^4}$ можно сначала возвести число в степень. Так как степень четная, результат будет положительным:
$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
Теперь извлекаем корень: $\sqrt{81} = 9$.
Либо можно применить общее свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Здесь $a = -3$, а показатель $4 = 2 \cdot 2$.
$\sqrt{(-3)^4} = \sqrt{(-3)^{2 \cdot 2}} = \sqrt{((-3)^2)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{((-3)^2)^2} = |(-3)^2|$.
Вычисляем выражение под знаком модуля: $(-3)^2 = 9$.
$|9| = 9$.
Ответ: 9

6) Для вычисления $\sqrt{(-5)^6}$ применим свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. Здесь $a = -5$, а показатель $6 = 2 \cdot 3$.
$\sqrt{(-5)^6} = \sqrt{(-5)^{2 \cdot 3}} = \sqrt{((-5)^3)^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt{((-5)^3)^2} = |(-5)^3|$.
Вычислим значение выражения под знаком модуля:
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.
Теперь находим модуль полученного числа:
$|-125| = 125$.
Ответ: 125