Номер 3, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 162.

Условие.

3. Найти модуль числа -8; 15; $\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $2-\sqrt{5}$.

Решение 4.

Модуль (или абсолютная величина) действительного числа $x$, обозначаемый $|x|$, — это неотрицательное число, которое определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Проще говоря, модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Геометрически модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта.

-8:
Число -8 является отрицательным. Согласно определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.
$|-8| = -(-8) = 8$.
Ответ: $8$.

15:
Число 15 является положительным. Модуль положительного числа равен самому числу.
$|15| = 15$.
Ответ: $15$.

$\sqrt{2}$:
Число $\sqrt{2}$ является положительным, так как арифметический квадратный корень из положительного числа всегда положителен.
Модуль положительного числа равен самому числу.
$|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

$\sqrt{2}-1$:
Чтобы найти модуль выражения $\sqrt{2}-1$, необходимо определить его знак. Для этого сравним числа $\sqrt{2}$ и $1$.
Поскольку $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, а значит $\sqrt{2} > 1$.
Отсюда следует, что разность $\sqrt{2}-1$ положительна. Модуль положительного выражения равен самому выражению.
$|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

$2-\sqrt{5}$:
Чтобы найти модуль выражения $2-\sqrt{5}$, необходимо определить его знак. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $4 < 5$, то и $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом. Модуль отрицательного выражения равен противоположному ему выражению.
$|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = -2 + \sqrt{5} = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.