Номер 2, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 2, страница 162.

Условие.

2. Объяснить, почему при $a<0$ верно равенство $\sqrt{a^2}=-a$.

Решение 4.

Чтобы объяснить, почему при $a < 0$ верно равенство $\sqrt{a^2} = -a$, обратимся к определению арифметического квадратного корня.

По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $b$ (обозначается $\sqrt{b}$) называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $b$.

Таким образом, равенство $y = \sqrt{b}$ справедливо, если одновременно выполняются два условия:

1. $y \ge 0$
2. $y^2 = b$

Теперь применим это определение к нашему выражению $\sqrt{a^2}$. Здесь подкоренное выражение $b = a^2$. Мы хотим проверить, верно ли равенство $\sqrt{a^2} = -a$ при условии, что $a < 0$. Для этого нужно проверить, выполняются ли для выражения $-a$ два вышеуказанных условия.

Проверка условия 1: неотрицательность.

Нам нужно проверить, что $-a \ge 0$. По условию задачи, $a$ — отрицательное число, то есть $a < 0$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot a > (-1) \cdot 0$

$-a > 0$

Это означает, что выражение $-a$ является положительным, а значит, и неотрицательным. Первое условие выполняется.

Проверка условия 2: возведение в квадрат.

Нам нужно проверить, что $(-a)^2 = a^2$.

$(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.

Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия из определения арифметического квадратного корня выполнены, равенство $\sqrt{a^2} = -a$ при $a < 0$ является верным.

Это также следует из общего свойства $\sqrt{a^2} = |a|$. По определению модуля (абсолютной величины) числа:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Так как по условию $a < 0$, то $|a| = -a$. Следовательно, $\sqrt{a^2} = |a| = -a$.

Например: пусть $a = -5$. Тогда $a < 0$.
$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.
При этом $-a = -(-5) = 5$.
Получаем верное равенство $5 = 5$.

Ответ: Равенство $\sqrt{a^2} = -a$ при $a < 0$ является верным, потому что результат извлечения арифметического квадратного корня должен быть неотрицательным числом. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то число $-a$ является положительным ($-a > 0$). При возведении $-a$ в квадрат мы получаем исходное подкоренное выражение $a^2$, так как $(-a)^2 = a^2$. Таким образом, $-a$ удовлетворяет всем требованиям определения арифметического квадратного корня из $a^2$ при $a < 0$.