Номер 1, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 1, страница 162.

Условие.

1. Сформулировать теорему о квадратном корне из квадрата числа.

Решение 4.

1.

Теорема о квадратном корне из квадрата числа формулируется следующим образом: для любого действительного числа a справедливо тождество:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Словесно: квадратный корень из квадрата любого числа равен модулю этого числа.

Доказательство:

По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа x (обозначается $\sqrt{x}$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен x. В нашем случае подкоренное выражение $a^2$ всегда неотрицательно при любом действительном a. Рассмотрим два возможных случая для знака числа a.

Случай 1: a — неотрицательное число ($a \ge 0$)
В этом случае, по определению модуля, $|a| = a$. Поскольку a является неотрицательным числом и его квадрат равен $a^2$, то a полностью удовлетворяет определению арифметического квадратного корня из $a^2$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = a$. Сопоставив с определением модуля, получаем, что $\sqrt{a^2} = |a|$.

Случай 2: a — отрицательное число ($a < 0$)
В этом случае, по определению модуля, $|a| = -a$. Так как $a < 0$, то число $-a$ является положительным (т.е. неотрицательным). Найдем его квадрат: $(-a)^2 = a^2$. Так как $-a$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a^2$, то оно и является арифметическим квадратным корнем из $a^2$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = -a$. Сопоставив с определением модуля, снова получаем, что $\sqrt{a^2} = |a|$.

Поскольку равенство $\sqrt{a^2} = |a|$ выполняется как для неотрицательных, так и для отрицательных a, оно верно для любого действительного числа a, что и требовалось доказать.

Примеры:

• $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$. По теореме: $\sqrt{5^2} = |5| = 5$.

• $\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8$. По теореме: $\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8$.

• $\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $3-\pi < 0$. Следовательно, $|3-\pi| = -(3-\pi) = \pi-3$.

Ответ: Теорема о квадратном корне из квадрата числа утверждает, что для любого действительного числа a квадратный корень из $a^2$ равен модулю a. В виде формулы: $\sqrt{a^2} = |a|$.