Страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать теорему о квадратном корне из квадрата числа.

1.

Теорема о квадратном корне из квадрата числа формулируется следующим образом: для любого действительного числа a справедливо тождество:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Словесно: квадратный корень из квадрата любого числа равен модулю этого числа.

Доказательство:

По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа x (обозначается $\sqrt{x}$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен x. В нашем случае подкоренное выражение $a^2$ всегда неотрицательно при любом действительном a. Рассмотрим два возможных случая для знака числа a.

Случай 1: a — неотрицательное число ($a \ge 0$)
В этом случае, по определению модуля, $|a| = a$. Поскольку a является неотрицательным числом и его квадрат равен $a^2$, то a полностью удовлетворяет определению арифметического квадратного корня из $a^2$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = a$. Сопоставив с определением модуля, получаем, что $\sqrt{a^2} = |a|$.

Случай 2: a — отрицательное число ($a < 0$)
В этом случае, по определению модуля, $|a| = -a$. Так как $a < 0$, то число $-a$ является положительным (т.е. неотрицательным). Найдем его квадрат: $(-a)^2 = a^2$. Так как $-a$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a^2$, то оно и является арифметическим квадратным корнем из $a^2$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = -a$. Сопоставив с определением модуля, снова получаем, что $\sqrt{a^2} = |a|$.

Поскольку равенство $\sqrt{a^2} = |a|$ выполняется как для неотрицательных, так и для отрицательных a, оно верно для любого действительного числа a, что и требовалось доказать.

Примеры:

• $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$. По теореме: $\sqrt{5^2} = |5| = 5$.

• $\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8$. По теореме: $\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8$.

• $\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $3-\pi < 0$. Следовательно, $|3-\pi| = -(3-\pi) = \pi-3$.

Ответ: Теорема о квадратном корне из квадрата числа утверждает, что для любого действительного числа a квадратный корень из $a^2$ равен модулю a. В виде формулы: $\sqrt{a^2} = |a|$.

2. Объяснить, почему при $a<0$ верно равенство $\sqrt{a^2}=-a$.

Чтобы объяснить, почему при $a < 0$ верно равенство $\sqrt{a^2} = -a$, обратимся к определению арифметического квадратного корня.

По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $b$ (обозначается $\sqrt{b}$) называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $b$.

Таким образом, равенство $y = \sqrt{b}$ справедливо, если одновременно выполняются два условия:

1. $y \ge 0$
2. $y^2 = b$

Теперь применим это определение к нашему выражению $\sqrt{a^2}$. Здесь подкоренное выражение $b = a^2$. Мы хотим проверить, верно ли равенство $\sqrt{a^2} = -a$ при условии, что $a < 0$. Для этого нужно проверить, выполняются ли для выражения $-a$ два вышеуказанных условия.

Проверка условия 1: неотрицательность.

Нам нужно проверить, что $-a \ge 0$. По условию задачи, $a$ — отрицательное число, то есть $a < 0$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot a > (-1) \cdot 0$

$-a > 0$

Это означает, что выражение $-a$ является положительным, а значит, и неотрицательным. Первое условие выполняется.

Проверка условия 2: возведение в квадрат.

Нам нужно проверить, что $(-a)^2 = a^2$.

$(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.

Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия из определения арифметического квадратного корня выполнены, равенство $\sqrt{a^2} = -a$ при $a < 0$ является верным.

Это также следует из общего свойства $\sqrt{a^2} = |a|$. По определению модуля (абсолютной величины) числа:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Так как по условию $a < 0$, то $|a| = -a$. Следовательно, $\sqrt{a^2} = |a| = -a$.

Например: пусть $a = -5$. Тогда $a < 0$.
$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.
При этом $-a = -(-5) = 5$.
Получаем верное равенство $5 = 5$.

Ответ: Равенство $\sqrt{a^2} = -a$ при $a < 0$ является верным, потому что результат извлечения арифметического квадратного корня должен быть неотрицательным числом. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то число $-a$ является положительным ($-a > 0$). При возведении $-a$ в квадрат мы получаем исходное подкоренное выражение $a^2$, так как $(-a)^2 = a^2$. Таким образом, $-a$ удовлетворяет всем требованиям определения арифметического квадратного корня из $a^2$ при $a < 0$.

3. Обосновать верность равенства $\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} = 3-\sqrt{8}$.

Для обоснования верности данного равенства необходимо использовать определение арифметического квадратного корня из квадрата числа. Для любого действительного числа $a$ справедливо тождество: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это правило к левой части исходного равенства:

$\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} = |\sqrt{8}-3|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, находящегося внутри него, то есть $\sqrt{8}-3$. Для этого сравним значения $\sqrt{8}$ и $3$.

Сравнение можно провести, возведя оба числа в квадрат:

$(\sqrt{8})^2 = 8$

$3^2 = 9$

Так как $8 < 9$, то и $\sqrt{8} < \sqrt{9}$. Поскольку $\sqrt{9}=3$, мы получаем, что $\sqrt{8} < 3$.

Это означает, что разность $\sqrt{8}-3$ является отрицательным числом:

$\sqrt{8}-3 < 0$

По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно (т.е. $b < 0$), то его модуль равен противоположному выражению: $|b| = -b$.

Применим это к нашему случаю:

$|\sqrt{8}-3| = -(\sqrt{8}-3)$

Раскроем скобки:

$-(\sqrt{8}-3) = -\sqrt{8} + 3 = 3 - \sqrt{8}$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}$ действительно равна $3-\sqrt{8}$. Следовательно, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, так как согласно свойству $\sqrt{a^2}=|a|$, левая часть преобразуется в $|\sqrt{8}-3|$. Поскольку $\sqrt{8} < 3$, выражение $\sqrt{8}-3$ отрицательно, и по определению модуля $|\sqrt{8}-3| = -(\sqrt{8}-3) = 3-\sqrt{8}$.

4. Какое равенство называют тождеством?

Тождеством в математике называют равенство, которое выполняется (является верным) при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Другими словами, какие бы значения из области определения мы ни подставили вместо переменных, равенство всегда останется истинным.

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменных, при которых и левая, и правая части равенства имеют смысл. Например, для выражения $\frac{1}{x}$ значение $x=0$ является недопустимым, так как деление на ноль не определено.

Примеры тождеств:

• Формулы сокращенного умножения, например, квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это равенство будет верным для любых значений $a$ и $b$.
• Распределительный закон умножения: $c(x+y) = cx + cy$. Равенство справедливо для любых $c, x, y$.
• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Это равенство верно для любого угла $\alpha$.
• Равенство, верное для всех допустимых значений: $\frac{x^2}{x} = x$. Данное равенство является тождеством для всех $x$, кроме $x \neq 0$, так как при $x=0$ левая часть равенства теряет смысл.

Важно отличать тождество от уравнения. Уравнение — это равенство с переменной, которое, как правило, выполняется лишь при некоторых конкретных значениях переменной. Например, $2x - 4 = 6$ является уравнением, так как оно верно только при $x = 5$. Значение $x=5$ называют корнем уравнения. В отличие от уравнения, тождество верно для бесконечного множества значений (всей своей области определения).

Ответ: Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

5. Сформулировать теорему, которая позволяет сравнивать значения корней.

Для сравнения значений корней (радикалов) используется теорема, которая основывается на свойстве монотонности функции извлечения корня. Формулировка теоремы и метод ее применения зависят от того, одинаковы или различны показатели корней.

Для случая, когда показатели (степени) у сравниваемых корней одинаковы, теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема: Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n \ge 2$, неравенство $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ выполняется тогда и только тогда, когда $a > b$.

Проще говоря, из двух корней с одинаковыми натуральными показателями больше тот, у которого подкоренное выражение больше. Это свойство следует из того, что функция $y = \sqrt[n]{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$).

Пример: Сравнить $\sqrt[7]{129}$ и $\sqrt[7]{132}$.
Поскольку показатели корней одинаковы (равны 7), мы сравниваем подкоренные выражения: $129 < 132$. На основании теоремы делаем вывод, что $\sqrt[7]{129} < \sqrt[7]{132}$.

Если показатели у корней разные, то напрямую применить указанную теорему нельзя. В этом случае необходимо сначала привести корни к общему показателю, используя основное свойство корня, а затем уже их сравнивать. Алгоритм сравнения корней $\sqrt[n]{a}$ и $\sqrt[m]{b}$:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней: $k = \text{НОК}(n, m)$. Это будет новый общий показатель.
2. Найти дополнительные множители для показателей каждого корня: $p = k/n$ и $q = k/m$.
3. Преобразовать каждый корень, приведя его к показателю $k$. Для этого показатель корня и степень подкоренного выражения умножают на соответствующий дополнительный множитель:
   $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot p]{a^p} = \sqrt[k]{a^p}$
   $\sqrt[m]{b} = \sqrt[m \cdot q]{b^q} = \sqrt[k]{b^q}$
4. Сравнить полученные подкоренные выражения $a^p$ и $b^q$, используя теорему для корней с одинаковыми показателями.
5. Сделать вывод об исходных корнях. Если $a^p > b^q$, то и $\sqrt[n]{a} > \sqrt[m]{b}$.

Пример: Сравнить $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[6]{12}$.

1. Находим НОК показателей 4 и 6. $\text{НОК}(4, 6) = 12$. Общий показатель равен 12.

2. Находим дополнительные множители: для первого корня $p = 12 / 4 = 3$; для второго $q = 12 / 6 = 2$.

3. Приводим корни к общему показателю 12:
$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$
$\sqrt[6]{12} = \sqrt[6 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[12]{144}$

4. Теперь сравниваем полученные выражения с одинаковым показателем. Так как $125 < 144$, то $\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{144}$.

5. Следовательно, $\sqrt[4]{5} < \sqrt[6]{12}$.

Ответ: Теорема, позволяющая сравнивать значения корней, гласит: из двух корней с одинаковыми натуральными показателями ($n \ge 2$) больше тот, у которого подкоренное выражение больше. То есть, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, неравенство $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ равносильно неравенству $a > b$. Если показатели корней различны, то для их сравнения необходимо предварительно привести корни к общему показателю, а затем применить эту же теорему.

1. Назвать число, противоположное числу

$-3$; $12$; $0$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{5} - 1$.

-3. Противоположным числом для любого числа $a$ является число $-a$. Их сумма должна равняться нулю: $a + (-a) = 0$. Для числа $-3$ противоположным будет число $-(-3)$, что равно 3. Проверка: $-3 + 3 = 0$.
Ответ: 3

12. Противоположным для числа $12$ является число $-12$. Проверка: $12 + (-12) = 0$.
Ответ: -12

0. Число $0$ является противоположным самому себе, так как $-0 = 0$. Проверка: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

$\sqrt{5}$. Противоположным для числа $\sqrt{5}$ является число $-\sqrt{5}$. Проверка: $\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$.
Ответ: $-\sqrt{5}$

$\sqrt{5} - 1$. Чтобы найти число, противоположное выражению $\sqrt{5} - 1$, нужно взять его с обратным знаком: $-(\sqrt{5} - 1)$. Раскрыв скобки, получим $-\sqrt{5} + 1$, что обычно записывают как $1 - \sqrt{5}$. Проверка: $(\sqrt{5} - 1) + (1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1 + 1 - \sqrt{5} = 0$.
Ответ: $1 - \sqrt{5}$

2. Сравнить:

1) $\sqrt{2}$ и 2;

2) $\sqrt{3}$ и 2;

3) 3 и $\sqrt{5}$;

4) $\sqrt{10}$ и 3.

1)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{2}$ и $2$, представим число $2$ в виде квадратного корня. Поскольку $2$ – положительное число, мы можем записать его как $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{4}$.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных $x$. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Сравним подкоренные выражения: $2 < 4$.

Так как $2 < 4$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{4}$.

Следовательно, $\sqrt{2} < 2$.

Ответ: $\sqrt{2} < 2$.

2)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$ и $2$, можно возвести оба числа в квадрат. Так как оба числа ($\sqrt{3}$ и $2$) положительны, то соотношение между ними будет таким же, как и соотношение между их квадратами.

Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$2^2 = 4$

Теперь сравним полученные результаты: $3 < 4$.

Поскольку $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$.

Ответ: $\sqrt{3} < 2$.

3)

Чтобы сравнить числа $3$ и $\sqrt{5}$, представим число $3$ в виде квадратного корня: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Теперь сравним $\sqrt{9}$ и $\sqrt{5}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $9 > 5$.

Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, и $9 > 5$, то $\sqrt{9} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $3 > \sqrt{5}$.

Ответ: $3 > \sqrt{5}$.

4)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{10}$ и $3$, возведем оба положительных числа в квадрат.

Возводим в квадрат первое число:

$(\sqrt{10})^2 = 10$

Возводим в квадрат второе число:

$3^2 = 9$

Сравниваем полученные квадраты: $10 > 9$.

Так как $10 > 9$, то и исходные числа находятся в таком же соотношении: $\sqrt{10} > 3$.

Ответ: $\sqrt{10} > 3$.

3. Найти модуль числа -8; 15; $\sqrt{2}$; $\sqrt{2}-1$; $2-\sqrt{5}$.

Модуль (или абсолютная величина) действительного числа $x$, обозначаемый $|x|$, — это неотрицательное число, которое определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Проще говоря, модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Геометрически модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта.

-8:
Число -8 является отрицательным. Согласно определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.
$|-8| = -(-8) = 8$.
Ответ: $8$.

15:
Число 15 является положительным. Модуль положительного числа равен самому числу.
$|15| = 15$.
Ответ: $15$.

$\sqrt{2}$:
Число $\sqrt{2}$ является положительным, так как арифметический квадратный корень из положительного числа всегда положителен.
Модуль положительного числа равен самому числу.
$|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

$\sqrt{2}-1$:
Чтобы найти модуль выражения $\sqrt{2}-1$, необходимо определить его знак. Для этого сравним числа $\sqrt{2}$ и $1$.
Поскольку $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, а значит $\sqrt{2} > 1$.
Отсюда следует, что разность $\sqrt{2}-1$ положительна. Модуль положительного выражения равен самому выражению.
$|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

$2-\sqrt{5}$:
Чтобы найти модуль выражения $2-\sqrt{5}$, необходимо определить его знак. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $4 < 5$, то и $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом. Модуль отрицательного выражения равен противоположному ему выражению.
$|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = -2 + \sqrt{5} = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

4. Представить всеми возможными способами в виде квадрата целого числа 196; 225; $5^4$; $4^6$.

196

Чтобы представить число 196 в виде квадрата целого числа, необходимо найти такое целое число $a$, что $a^2 = 196$. Для этого нужно извлечь квадратный корень из 196.
Мы знаем, что $14 \times 14 = 196$, следовательно, $14^2 = 196$.
Также необходимо помнить, что квадрат отрицательного числа является положительным, поэтому $(-14)^2 = (-14) \times (-14) = 196$.
Таким образом, существует два способа представить число 196 в виде квадрата целого числа.
Ответ: $14^2$ и $(-14)^2$.

225

Аналогично, для числа 225 ищем целое число $a$, такое что $a^2 = 225$.
Поскольку число заканчивается на 5, его целый квадратный корень, если он существует, также должен заканчиваться на 5. Проверим число 15: $15^2 = 15 \times 15 = 225$.
Квадрат противоположного числа $(-15)$ также равен 225: $(-15)^2 = 225$.
Ответ: $15^2$ и $(-15)^2$.

5⁴

Чтобы представить число $5^4$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степеней: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Мы можем представить показатель степени 4 как произведение $2 \cdot 2$:
$5^4 = 5^{2 \cdot 2} = (5^2)^2$.
Теперь вычислим значение в скобках: $5^2 = 25$.
Следовательно, $5^4 = 25^2$.
Так же, как и в предыдущих случаях, основание может быть отрицательным: $(-25)^2 = 625$, и $5^4 = 625$.
Ответ: $25^2$ и $(-25)^2$.

4⁶

Для представления числа $4^6$ в виде квадрата воспользуемся тем же свойством степеней.
Представим показатель степени 6 как произведение $3 \cdot 2$:
$4^6 = 4^{3 \cdot 2} = (4^3)^2$.
Вычислим основание степени: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Таким образом, $4^6 = 64^2$.
Второй способ — с отрицательным основанием: $4^6 = (-64)^2$.
Альтернативный способ: Можно сначала преобразовать основание $4 = 2^2$. Тогда $4^6 = (2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}$. Далее, $2^{12} = 2^{6 \cdot 2} = (2^6)^2 = 64^2$, что приводит к тому же результату.
Ответ: $64^2$ и $(-64)^2$.