Страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать причины расширения понятия числа от натурального до целого; от целого до рационального.

от натурального до целого

Исторически первыми возникли натуральные числа (${\mathbb{N}} = \{1, 2, 3, ...\}$), которые использовались для счета предметов. В множестве натуральных чисел всегда выполнимы операции сложения и умножения, то есть сумма и произведение любых двух натуральных чисел также являются натуральными числами.

Однако операция вычитания, обратная сложению, выполнима не всегда. Например, можно вычесть 3 из 5 ($5 - 3 = 2$), и результат будет натуральным числом. Но вычитание 5 из 3 ($3 - 5 = ?$) в рамках натуральных чисел невозможно.

С точки зрения алгебры, это означает, что уравнение вида $a + x = b$, где $a$ и $b$ – натуральные числа, не всегда имеет решение в множестве натуральных чисел. Решение существует только при условии $b > a$.

Чтобы сделать операцию вычитания всегда выполнимой, потребовалось расширить понятие числа. Были введены: число ноль (0), которое является решением уравнения $a + x = a$, и отрицательные целые числа (..., -3, -2, -1), которые являются решениями уравнений, где $b < a$, например, $5 + x = 3$, решением которого является $x = -2$.

Объединение натуральных чисел, нуля и отрицательных целых чисел образует множество целых чисел (${\mathbb{Z}} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$). В этом множестве операция вычитания выполнима всегда, а уравнение $a + x = b$ имеет единственное решение $x = b - a$ для любых целых $a$ и $b$.

Ответ: Основной причиной расширения понятия числа от натурального до целого стала математическая необходимость сделать операцию вычитания выполнимой для любых двух чисел, что, в свою очередь, обеспечивает разрешимость любого линейного уравнения вида $a + x = b$ в новом множестве чисел.

от целого до рационального

В множестве целых чисел (${\mathbb{Z}}$) всегда выполнимы операции сложения, вычитания и умножения. Однако операция деления, обратная умножению, выполнима не всегда.

Например, можно разделить -6 на 3 ($-6 \div 3 = -2$), и результат будет целым числом. Но разделить 5 на 2 ($5 \div 2 = ?$) или 3 на 7 ($3 \div 7 = ?$) нацело невозможно; результат не является целым числом.

С алгебраической точки зрения, это означает, что уравнение вида $a \cdot x = b$, где $a, b \in {\mathbb{Z}}$ и $a \neq 0$, не всегда имеет решение в множестве целых чисел. Решение существует только в том случае, если $b$ делится на $a$ нацело.

Для того чтобы сделать операцию деления на любое не равное нулю число всегда выполнимой, потребовалось новое расширение понятия числа. Были введены дробные (или рациональные) числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (или формально $p \in {\mathbb{Z}}$, $q \in {\mathbb{Z}}$ и $q \neq 0$). Например, решением уравнения $2 \cdot x = 5$ является рациональное число $x = \frac{5}{2}$.

Помимо математической необходимости, введение дробных чисел было продиктовано и практическими потребностями: измерение величин, которые не выражались целым числом единиц (например, длина, вес, время), и необходимость делить целое на равные части.

Множество всех таких чисел называется множеством рациональных чисел (${\mathbb{Q}}$). В этом множестве уравнение $a \cdot x = b$ при $a \neq 0$ всегда имеет единственное решение $x = \frac{b}{a}$.

Ответ: Основной причиной расширения понятия числа от целого до рационального стала математическая необходимость сделать операцию деления на любое ненулевое число всегда выполнимой. Это обеспечивает разрешимость любого линейного уравнения вида $a \cdot x = b$ (при $a \neq 0$). Также этому способствовали практические задачи, связанные с измерением величин и делением целого на части.

2. Привести пример десятичной конечной дроби; бесконечной периодической дроби.

Десятичная конечная дробь

Десятичная конечная дробь — это дробь, которая содержит конечное число цифр после запятой. Такую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где знаменатель $n$ несократимой дроби состоит только из простых множителей 2 и 5.
Например, обыкновенную дробь $\frac{3}{4}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби. Знаменатель $4 = 2^2$. Чтобы привести знаменатель к степени 10, домножим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$
В этой дроби две цифры после запятой, их число конечно.

Ответ: 0,75

Бесконечная периодическая дробь

Бесконечная периодическая дробь — это дробь, в которой десятичные знаки после запятой повторяются в виде определенной группы цифр. Эта группа называется периодом дроби и при записи заключается в скобки. Любое рациональное число (обыкновенная дробь), которое нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, записывается в виде бесконечной периодической. Это происходит, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители есть числа, отличные от 2 и 5.
Например, рассмотрим дробь $\frac{1}{3}$. При делении 1 на 3 в столбик мы будем бесконечно получать в частном цифру 3:
$1 \div 3 = 0,333...$
Это записывается с использованием периода: $0,(3)$.

Ответ: $0,(3)$