Страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какое число называют квадратным корнем из числа $a$?

1. Квадратным корнем из числа $a$ называют такое число, квадрат которого равен $a$. Это означает, что если мы обозначим квадратный корень из $a$ как $b$, то будет справедливо равенство: $b^2 = a$.

Рассмотрим несколько примеров:
• Квадратными корнями из числа 36 являются числа 6 и -6, потому что $6^2 = 36$ и $(-6)^2 = 36$.
• Квадратным корнем из числа 0 является только число 0, так как $0^2 = 0$.
• У отрицательных чисел (например, у -25) в множестве действительных чисел квадратных корней не существует, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным.

Важно также знать понятие арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Он обозначается знаком радикала: $\sqrt{a}$. Согласно этому определению, $\sqrt{36} = 6$, но $\sqrt{36} \ne -6$.

Ответ: Квадратным корнем из числа $a$ называют такое число, квадрат которого равен $a$.

2. Сколько существует квадратных корней из положительного числа $b$?

По определению, квадратным корнем из числа $b$ называется такое число $x$, которое при возведении во вторую степень (в квадрат) даёт число $b$. Это можно записать в виде уравнения: $x^2 = b$.
Согласно условию, число $b$ является положительным, то есть $b > 0$.
Для любого положительного числа $b$ данное уравнение всегда имеет два действительных решения (корня). Эти корни являются противоположными числами.
1. Первый корень — это положительное число, которое называется арифметическим квадратным корнем и обозначается как $\sqrt{b}$.
2. Второй корень — это отрицательное число, равное $-\sqrt{b}$.

Оба этих числа удовлетворяют исходному уравнению, так как при возведении в квадрат и положительного, и отрицательного числа результат будет положительным:
$(\sqrt{b})^2 = b$
$(-\sqrt{b})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = 1 \cdot b = b$

Например, для положительного числа $b = 25$ существует два квадратных корня: $5$ и $-5$, потому что $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$.
Следовательно, из любого положительного числа $b$ существует ровно два квадратных корня.

Ответ: 2

3. Какое число называют арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $c$?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $c$ называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $c$.

Арифметический квадратный корень из числа $c$ принято обозначать символом $\sqrt{c}$. Число $c$ при этом называют подкоренным выражением. Таким образом, запись $x = \sqrt{c}$ (где $c \ge 0$) является краткой формой записи двух условий, которые должны выполняться одновременно:

1. Число $x$ должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
2. Квадрат числа $x$ должен быть равен $c$, то есть $x^2 = c$.

Рассмотрим на примере. Найдем арифметический квадратный корень из 49. Мы ищем такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даст 49. Этим числом является 7. Проверим оба условия:
1. $7 \ge 0$ (верно, 7 — неотрицательное число).
2. $7^2 = 49$ (верно).
Следовательно, $\sqrt{49} = 7$.

Важно отметить, что число $-7$ также дает в квадрате 49, так как $(-7)^2 = 49$. Однако $-7$ является отрицательным числом, поэтому оно не может быть арифметическим квадратным корнем. Оно является просто одним из двух квадратных корней из числа 49.

Условие, что само число $c$ должно быть неотрицательным ($c \ge 0$), является обязательным, так как в области действительных чисел квадрат любого числа (как положительного, так и отрицательного) всегда является неотрицательным.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $c$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $c$.

неотрицательного числа с.

4. Назвать подкоренное выражение в записи:

$\sqrt{x-2}$; $\sqrt{x-2}$; $2\sqrt{0,04}$; $3\sqrt{0,6}-5$.

$\sqrt{x-2}$
Подкоренное выражение — это выражение, которое находится непосредственно под знаком корня (радикала). В записи $\sqrt{x-2}$ под знаком корня находится все выражение $x-2$.
Ответ: $x-2$.

$\sqrt{x}-2$
В этом выражении знак корня распространяется только на переменную $x$. Число $-2$ является отдельным слагаемым и не входит в подкоренное выражение.
Ответ: $x$.

$2\sqrt{0,04}$
Здесь под знаком корня находится число $0,04$. Число $2$ является коэффициентом, на который умножается результат извлечения корня.
Ответ: $0,04$.

$3\sqrt{0,6}-5$
В данной записи под знаком корня находится только число $0,6$. Число $3$ — это коэффициент перед корнем, а $-5$ — это отдельное слагаемое, которое вычитается из произведения $3\sqrt{0,6}$.
Ответ: $0,6$.

5. Прочитать запись:

$\sqrt{b}$; $\sqrt{5-a}$; $\sqrt{2(x+1)}$; $\sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\sqrt{b}$

Эта запись представляет собой квадратный корень из переменной $b$. Знак $\sqrt{}$ обозначает операцию извлечения квадратного корня (также его называют арифметическим квадратным корнем). Читается данное выражение как «квадратный корень из бэ».

Ответ: Квадратный корень из бэ.

$\sqrt{5-a}$

В этом выражении квадратный корень извлекается из разности числа 5 и переменной $a$. Выражение $5-a$ является подкоренным выражением. Читается вся запись как «квадратный корень из разности пяти и а».

Ответ: Квадратный корень из разности пяти и а.

$\sqrt{2(x+1)}$

Здесь под знаком квадратного корня находится произведение числа 2 на выражение в скобках $(x+1)$, которое представляет собой сумму переменной $x$ и числа 1. Вся запись читается как «квадратный корень из произведения двух на сумму икс и единицы».

Ответ: Квадратный корень из произведения двух на сумму икс и единицы.

$\sqrt{\frac{a}{b}}$

В данном случае извлекается квадратный корень из дроби (или отношения) $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель. Эта запись читается как «квадратный корень из дроби а делённое на бэ» или, более формально, «квадратный корень из отношения а к бэ».

Ответ: Квадратный корень из отношения а к бэ.

6. Как называют действие нахождения квадратного корня из числа?

6. Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция является обратной к возведению в квадрат. То есть, если мы ищем квадратный корень из неотрицательного числа $a$, мы пытаемся найти такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$: $b^2 = a$. Это число $b$ и есть арифметический квадратный корень из $a$, и оно обозначается как $\sqrt{a}$.
Например, чтобы извлечь квадратный корень из 16, нужно найти число, которое при умножении само на себя даст 16. Это число 4, так как $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$. Таким образом, $\sqrt{16} = 4$.
Ответ: извлечение квадратного корня.

7. Записать символами определение квадратного корня из числа $a$.

Определение арифметического квадратного корня из числа $a$, который обозначается символом $\sqrt{a}$, можно записать с помощью математических символов. Согласно определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число (обозначим его $b$), квадрат которого равен $a$.
Это означает, что равенство $\sqrt{a} = b$ является верным тогда и только тогда ($\iff$), когда одновременно выполняются два условия: результат извлечения корня должен быть неотрицательным ($b \ge 0$), и его квадрат должен быть равен подкоренному выражению ($b^2 = a$).
Из второго условия также следует, что само число $a$ должно быть неотрицательным ($a \ge 0$), так как $a=b^2$.
Объединив эти условия, получаем формальную символьную запись определения:
$(\sqrt{a} = b) \iff (b \ge 0 \land b^2 = a)$
где символ $\land$ обозначает логический союз "и".
Альтернативная запись с использованием системы:
$\sqrt{a} = b \iff \begin{cases} b \ge 0 \\ b^2 = a \end{cases}$

Ответ: $(\sqrt{a} = b) \iff (b \ge 0 \land b^2 = a)$.