Страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $(\frac{5}{7})^{-3} : (\frac{5}{7})^{-5}$;

2) $(0,3 \cdot \frac{2}{3})^3$.

1) Для вычисления выражения $(\frac{5}{7})^{-3} : (\frac{5}{7})^{-5}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном случае основание $a = \frac{5}{7}$, а показатели степеней $m = -3$ и $n = -5$.

Подставим значения в формулу:

$(\frac{5}{7})^{-3} : (\frac{5}{7})^{-5} = (\frac{5}{7})^{-3 - (-5)} = (\frac{5}{7})^{-3+5} = (\frac{5}{7})^2$.

Теперь возведем дробь в квадрат:

$(\frac{5}{7})^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49}$.

Ответ: $\frac{25}{49}$.

2) Для вычисления выражения $(0,3 \cdot \frac{2}{3})^3$ сначала выполним умножение в скобках. Для этого представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби.

$0,3 = \frac{3}{10}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(0,3 \cdot \frac{2}{3})^3 = (\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3})^3$.

Выполним умножение дробей, сократив одинаковые множители (3 в числителе и знаменателе):

$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 3} = \frac{2}{10}$.

Сократим полученную дробь $\frac{2}{10}$ на 2:

$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь выражение принимает вид $(\frac{1}{5})^3$.

Возведем дробь в куб:

$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$.

Ответ: $\frac{1}{125}$.

2. Записать в стандартном виде число:

1) $0,0003$;

2) $740\,000$.

1) Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа.
Чтобы записать число 0,0003 в стандартном виде, нужно определить множитель $a$ и порядок $n$.
1. Перемещаем запятую вправо до первой значащей цифры (это 3). Получаем число 3. Это и есть наш множитель $a$. Так как $1 \le 3 < 10$, условие выполняется.
2. Считаем, на сколько знаков мы сдвинули запятую. Запятая сдвинулась на 4 позиции вправо.
3. Так как мы сдвигали запятую вправо, порядок числа $n$ будет отрицательным. В данном случае $n = -4$.
Таким образом, получаем $0,0003 = 3 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $3 \cdot 10^{-4}$

2) Запишем число 740 000 в стандартном виде.
1. У целого числа 740 000 запятая находится в конце (740 000,). Перемещаем запятую влево так, чтобы слева от нее осталась только одна значащая цифра. Получаем число 7,4. Это наш множитель $a$. Условие $1 \le 7,4 < 10$ выполняется.
2. Считаем, на сколько знаков мы сдвинули запятую. Запятая сдвинулась на 5 позиций влево.
3. Так как мы сдвигали запятую влево, порядок числа $n$ будет положительным. В данном случае $n = 5$.
Таким образом, получаем $740 000 = 7,4 \cdot 10^{5}$.
Ответ: $7,4 \cdot 10^{5}$