Страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

358. Найти область определения функции:

1) $y = \frac{200}{x}$;

2) $y = \frac{14}{x + 5}$;

3) $y = \frac{5x}{2x + 9}$;

4) $y = \frac{36 - x}{11 - 4x}$;

5) $y = \frac{1}{x^2 + 3}$;

6) $y = \frac{3}{x^2 - 4x + 4}$;

7) $y = \frac{x}{x^2 - 25}$;

8) $y = \frac{2x + 1}{x^3 - x^2}$.

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для дроби знаменатель не может быть равен нулю. В функции $y = \frac{200}{x}$ знаменатель равен $x$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x = 0$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) В функции $y = \frac{14}{x + 5}$ знаменатель равен $x + 5$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 5 = 0$ $x = -5$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -5.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

3) В функции $y = \frac{5x}{2x + 9}$ знаменатель равен $2x + 9$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $2x + 9 = 0$ $2x = -9$ $x = -\frac{9}{2} = -4.5$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4.5.
Ответ: $x \in (-\infty; -4.5) \cup (-4.5; +\infty)$.

4) В функции $y = \frac{36 - x}{11 - 4x}$ знаменатель равен $11 - 4x$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $11 - 4x = 0$ $4x = 11$ $x = \frac{11}{4} = 2.75$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.75.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.75) \cup (2.75; +\infty)$.

5) В функции $y = \frac{1}{x^2 + 3}$ знаменатель равен $x^2 + 3$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x^2 + 3 = 0$ $x^2 = -3$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Знаменатель $x^2 + 3$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 3 \ge 3$). Следовательно, ограничений на $x$ нет.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) В функции $y = \frac{3}{x^2 - 4x + 4}$ знаменатель равен $x^2 - 4x + 4$. Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $(x - 2)^2 = 0$ $x - 2 = 0$ $x = 2$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

7) В функции $y = \frac{x}{x^2 - 25}$ знаменатель равен $x^2 - 25$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 25 = 0$ $(x - 5)(x + 5) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$. $x = 5$ или $x = -5$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

8) В функции $y = \frac{2x+1}{x^3 - x^2}$ знаменатель равен $x^3 - x^2$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Вынесем общий множитель за скобки: $x^3 - x^2 = 0$ $x^2(x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x^2 = 0$ или $x - 1 = 0$. $x = 0$ или $x = 1$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

359. На миллиметровой бумаге построить график функции:

1) $y = \frac{1}{x}$;

2) $y = -\frac{1}{x}$;

3) $y = -\frac{12}{x}$;

4) $y = \frac{12}{x}$.

Перечислить свойства этой функции.

1) $y = \frac{1}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=1$. Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика на миллиметровой бумаге составим таблицу значений для нескольких точек:

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их двумя плавными кривыми (ветвями), которые симметричны относительно начала координат и приближаются к осям Ox и Oy (асимптотам).

Свойства функции $y = \frac{1}{x}$:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей у функции нет, так как уравнение $\frac{1}{x}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
• Так как $x \neq 0$, график не пересекает ось Oy.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$); горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).

Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства перечислены выше.

2) $y = -\frac{1}{x}$

Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-1$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Составим таблицу значений:

Построив точки и соединив их, получим гиперболу. Этот график можно также получить, отразив график функции $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox или оси Oy.

Свойства функции $y = -\frac{1}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = -(-\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей у функции нет. График не пересекает ось Ox.
• График не пересекает ось Oy.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy); горизонтальная $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.

3) $y = -\frac{12}{x}$

Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-12 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. По сравнению с $y = -\frac{1}{x}$, график "растянут" от начала координат в 12 раз.

Составим таблицу значений, выбирая в качестве $x$ делители числа 12 для удобства вычислений:

Построим график по точкам. Ветви гиперболы будут дальше от осей координат, чем у графика $y=-\frac{1}{x}$.

Свойства функции $y = -\frac{12}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{12}{-x} = \frac{12}{x} = -(-\frac{12}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей нет.
• График не пересекает оси координат.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.

4) $y = \frac{12}{x}$

Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу значений, используя делители числа 12:

Построим график по точкам. График симметричен графику $y = -\frac{12}{x}$ относительно осей координат.

Свойства функции $y = \frac{12}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{12}{-x} = - \frac{12}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей нет. График не пересекает оси координат.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Основные свойства перечислены выше.

360. Решить графически уравнение:

1) $\frac{1}{x} = x + 2;$

2) $2x - 1 = \frac{1}{x};$

3) $-x + 2 = -\frac{1}{x};$

4) $-\frac{1}{x} = 1 - x;$

5) $\frac{2}{x} = x^2;$

6) $x^3 = \frac{2}{x}.$

1) $\frac{1}{x}=x+2$

Для решения этого уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = x + 2$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = \frac{1}{x}$ – это гипербола. Ее ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. График функции $y = x + 2$ – это прямая. Для ее построения найдем две точки. Например, если $x=0$, то $y=2$ (точка (0, 2)), а если $x=-2$, то $y=0$ (точка (-2, 0)).

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Одна точка находится в первой четверти (с положительной абсциссой), а другая – в третьей четверти (с отрицательной абсциссой). Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Хотя графический метод дает приблизительные значения, мы можем найти точные корни с помощью алгебраического решения, которое подтверждает наличие двух пересечений.

Ответ: $x_1 = -1 - \sqrt{2}$, $x_2 = -1 + \sqrt{2}$.

2) $2x-1=\frac{1}{x}$

Рассмотрим функции $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}$. Решения уравнения – это абсциссы точек пересечения их графиков.

1. График функции $y = \frac{1}{x}$ – гипербола с ветвями в I и III четвертях.

2. График функции $y = 2x - 1$ – прямая. Для построения возьмем точки: при $x=0$, $y=-1$ (точка (0, -1)); при $x=1$, $y=1$ (точка (1, 1)).

При построении графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Одна точка пересечения (1, 1) легко определяется по графику. Вторая точка находится в третьей четверти.

Ответ: $x_1 = -0.5$, $x_2 = 1$.

3) $-x+2=-\frac{1}{x}$

Построим графики функций $y = -x + 2$ и $y = -\frac{1}{x}$. Абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ – это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

2. График функции $y = -x + 2$ – это прямая. Найдем точки для построения: при $x=0$, $y=2$ (точка (0, 2)); при $x=2$, $y=0$ (точка (2, 0)).

Графики пересекаются в двух точках: одна во II четверти (с отрицательной абсциссой), другая в IV четверти (с положительной абсциссой).

Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$, $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

4) $-\frac{1}{x}=1-x$

Решим уравнение, найдя абсциссы точек пересечения графиков функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = 1 - x$.

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ – гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

2. График функции $y = 1 - x$ – прямая. Для построения возьмем точки: при $x=0$, $y=1$ (точка (0, 1)); при $x=1$, $y=0$ (точка (1, 0)).

Построив графики, видим две точки пересечения, симметрично расположенные относительно точки (0.5, 0.5).

Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

5) $\frac{2}{x}=x^2$

Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \frac{2}{x}$ – гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях. Она проходит через точки (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).

2. График функции $y = x^2$ – парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх.

Парабола $y=x^2$ расположена в I и II четвертях ($y \ge 0$), а гипербола $y=\frac{2}{x}$ - в I и III. Следовательно, их пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Видно, что графики пересекаются только в одной точке.

Ответ: $x = \sqrt[3]{2}$.

6) $x^3=\frac{2}{x}$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{2}{x}$. Решения уравнения – это абсциссы точек их пересечения.

1. График функции $y = x^3$ – кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях.

2. График функции $y = \frac{2}{x}$ – гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Оба графика расположены в I и III четвертях. В первой четверти ($x>0$) графики пересекаются в одной точке. В третьей четверти ($x<0$) графики также пересекаются в одной точке. Всего имеется две точки пересечения, симметричные относительно начала координат.

Ответ: $x_1 = -\sqrt[4]{2}$, $x_2 = \sqrt[4]{2}$.