Страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называется областью определения функции; множеством значений функции?

областью определения функции

Областью определения функции $y = f(x)$ называется множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента) $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл, то есть может быть вычислено. Иными словами, это все значения $x$, которые можно подставить в функцию, чтобы получить конечное действительное значение $y$.

Область определения функции принято обозначать как $D(f)$ или $D(y)$.

При нахождении области определения функции из множества действительных чисел необходимо исключить значения аргумента, при которых:

• происходит деление на ноль (знаменатель дроби равен нулю);
• извлекается корень четной степени из отрицательного числа;
• вычисляется логарифм неположительного числа.

Пример: Найдем область определения функции $f(x) = \frac{5}{\sqrt{x-2}}$.
Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как оно под корнем, оно должно быть $\ge 0$, а так как оно в знаменателе, оно не должно быть равно $0$).
Получаем неравенство: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.
Следовательно, область определения этой функции — это интервал $(2, +\infty)$. Запись: $D(f) = (2, +\infty)$.

Ответ: Областью определения функции называется множество всех значений аргумента, при которых функция определена (имеет смысл).

множеством значений функции

Множеством (или областью) значений функции $y = f(x)$ называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, когда переменная $x$ пробегает всю область определения функции.

Множество значений функции принято обозначать как $E(f)$ или $E(y)$.

Для нахождения множества значений функции необходимо определить, какие значения может принимать $y$ при всех допустимых значениях $x$. Это можно сделать, проанализировав свойства функции (например, ее график, экстремумы, ограниченность).

Пример: Найдем множество значений функции $f(x) = x^2 - 4$.
Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.
Наименьшее значение функции будет достигаться при наименьшем значении $x^2$, то есть при $x^2 = 0$. Это значение равно $y_{min} = 0 - 4 = -4$.
При увеличении $|x|$ значение $x^2$ неограниченно растет, а значит, и значение функции тоже. Таким образом, функция принимает все значения от $-4$ включительно и до $+\infty$.
Следовательно, множество значений функции — это промежуток $[-4, +\infty)$. Запись: $E(f) = [-4, +\infty)$.

Ответ: Множеством значений функции называется множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная) при всех значениях аргумента из области определения.

2. Чему равна область определения и множество значений функции $y = kx + b (k \ne 0)$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = |x|$?

y = kx + b (k ≠ 0)

Область определения (D(y)): Это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для линейной функции $y = kx + b$ выражение $kx + b$ определено для любого действительного числа $x$. Нет никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа. Следовательно, $x$ может принимать любое значение из множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

Множество значений (E(y)): Это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Поскольку по условию $k \neq 0$, график функции является наклонной прямой. Это означает, что для любого действительного числа $y_0$ найдется такое значение $x_0$, что $y_0 = kx_0 + b$. Решая уравнение относительно $x$, получаем $x = \frac{y - b}{k}$. Так как $k \neq 0$, для любого значения $y$ можно найти соответствующее значение $x$. Таким образом, функция принимает все действительные значения.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

y = x²

Область определения (D(y)): Функция $y = x^2$ (квадратичная парабола) определена для любого действительного числа $x$. Ограничений на $x$ нет.

Множество значений (E(y)): Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Минимальное значение функции достигается при $x=0$ и равно $y=0^2=0$. При неограниченном росте $|x|$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, функция принимает все неотрицательные значения.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

y = x³

Область определения (D(y)): Функция $y = x^3$ (кубическая парабола) определена для любого действительного числа $x$, так как операция возведения в куб не накладывает ограничений на действительные числа.

Множество значений (E(y)): Куб действительного числа может быть как положительным (для $x > 0$), так и отрицательным (для $x < 0$), и равным нулю (для $x = 0$). Для любого действительного числа $a$ уравнение $x^3 = a$ имеет действительный корень $x = \sqrt[3]{a}$. Это означает, что функция может принять любое действительное значение.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

y = |x|

Область определения (D(y)): Функция $y = |x|$ (модуль $x$) определена для любого действительного числа $x$. Ограничений на $x$ нет.

Множество значений (E(y)): По определению, модуль числа — это его абсолютное значение, которое всегда неотрицательно. То есть, $|x| \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Минимальное значение, равное 0, достигается при $x=0$. Функция принимает все неотрицательные значения.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Перечислить свойства функции $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$; при $k < 0$.

Функция $y=\frac{k}{x}$ называется обратной пропорциональностью. Ее свойства существенно зависят от знака коэффициента $k$.

при $k > 0$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция принимает все действительные значения, кроме $y=0$, так как дробь $\frac{k}{x}$ при $k \neq 0$ никогда не равна нулю.

3. Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$).

4. Нули функции: Функция не имеет нулей, так как уравнение $\frac{k}{x} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

5. Промежутки монотонности: Функция убывает на всей области определения. Найдем производную: $y' = -\frac{k}{x^2}$. Поскольку по условию $k > 0$, а $x^2$ всегда положителен в области определения, то $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума и минимума, так как ее производная нигде не обращается в ноль.

7. Промежутки знакопостоянства: Так как $k > 0$, знак $y$ совпадает со знаком $x$.
- $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
- $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

8. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$ значения $y \to \infty$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$.

9. График: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Ответ: При $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ является нечетной, убывающей на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, не имеет нулей и экстремумов. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График (гипербола) расположен в I и III четвертях и имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$.

при $k < 0$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Четность: Функция также является нечетной, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции: Функция не имеет нулей. График не пересекает ось Ox.

5. Промежутки монотонности: Функция возрастает на всей области определения. Производная $y' = -\frac{k}{x^2}$. Поскольку по условию $k < 0$, то $-k > 0$. Значит, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума и минимума.

7. Промежутки знакопостоянства: Так как $k < 0$, знак $y$ противоположен знаку $x$.
- $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
- $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

8. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось Ox).

9. График: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Ответ: При $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ является нечетной, возрастающей на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, не имеет нулей и экстремумов. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График (гипербола) расположен во II и IV четвертях и имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$.

4. Как называется график функции $y = \frac{k}{x}$?

4. Функция, заданная формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — это некоторый числовой коэффициент, не равный нулю ($k \neq 0$), а $x$ — независимая переменная, называется обратной пропорциональностью.
Графиком такой функции является кривая линия, которая называется гипербола.

Основные свойства гиперболы:
1. Ветви гиперболы. График состоит из двух отдельных, симметричных друг другу относительно начала координат частей, которые называются ветвями.
2. Расположение ветвей. Положение ветвей на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$:
- Если $k > 0$, то ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.
- Если $k < 0$, то ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.
3. Асимптоты. Оси координат (ось Ox и ось Oy) являются асимптотами графика. Это означает, что ветви гиперболы бесконечно близко приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Уравнение вертикальной асимптоты — $x=0$, а горизонтальной — $y=0$.

Ответ: гипербола.

5. Как называются части графика функции $y = \frac{k}{x}$, симметричные относительно начала координат?

График функции $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$) называется гиперболой. Эта кривая состоит из двух отдельных частей, которые называются ветвями гиперболы.

Симметричность этих ветвей относительно начала координат является фундаментальным свойством графика обратной пропорциональности. Это свойство следует из того, что данная функция является нечётной. Проверим это:

Для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, выполняется равенство $y_0 = \frac{k}{x_0}$.

Рассмотрим точку $(-x_0, -y_0)$, симметричную ей относительно начала координат. Подставим её абсциссу $-x_0$ в уравнение функции:

$y = \frac{k}{-x_0} = - \frac{k}{x_0}$

Поскольку $y_0 = \frac{k}{x_0}$, мы получаем $y = -y_0$. Это означает, что точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит графику функции.

Таким образом, две части графика (ветви) симметричны друг другу относительно начала координат.

Ответ: Ветви гиперболы.

6. В каких координатных углах расположен график функции $y = -\frac{5}{x}$; $y = \frac{3}{x}$?

Для функции $y = -\frac{5}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$. В данном случае коэффициент $k = -5$. График такой функции называется гиперболой, и его расположение на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.

Поскольку коэффициент $k$ отрицательный ($k < 0$), ветви гиперболы расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях (углах).
Это можно проверить, проанализировав знаки переменных $x$ и $y$:

• Если $x > 0$ (положительные значения), то $y = -\frac{5}{x}$ будет иметь отрицательное значение ($y < 0$). Координаты $(+; -)$ соответствуют IV координатному углу.
• Если $x < 0$ (отрицательные значения), то $y = -\frac{5}{x}$ будет иметь положительное значение ($y > 0$). Координаты $(-; +)$ соответствуют II координатному углу.

Ответ: график функции расположен во II и IV координатных углах.

Для функции $y = \frac{3}{x}$

Это также функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 3$.

Поскольку коэффициент $k$ положительный ($k > 0$), ветви гиперболы расположены в первой (I) и третьей (III) координатных четвертях (углах).
Проверим это, проанализировав знаки переменных:

• Если $x > 0$ (положительные значения), то $y = \frac{3}{x}$ будет иметь положительное значение ($y > 0$). Координаты $(+; +)$ соответствуют I координатному углу.
• Если $x < 0$ (отрицательные значения), то $y = \frac{3}{x}$ будет иметь отрицательное значение ($y < 0$). Координаты $(-; -)$ соответствуют III координатному углу.

Ответ: график функции расположен в I и III координатных углах.

7. Объяснить, почему функция $y = \frac{6}{x}$ убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty).$

Чтобы объяснить, почему функция $y = \frac{6}{x}$ убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, можно использовать два основных подхода: с помощью производной (в рамках дифференциального исчисления) или по определению убывающей функции (алгебраический подход).

Способ 1: Использование производной

Критерий монотонности функции гласит, что если производная функции $y'(x)$ отрицательна на некотором интервале, то функция $y(x)$ на этом интервале убывает.

1. Найдем производную функции $y = \frac{6}{x}$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенной: $y = 6x^{-1}$.

2. Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (6x^{-1})' = 6 \cdot (-1)x^{-1-1} = -6x^{-2} = -\frac{6}{x^2}$

3. Теперь проанализируем знак производной $y' = -\frac{6}{x^2}$ на указанных промежутках.

Область определения функции и ее производной — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для любого ненулевого значения $x$, выражение $x^2$ всегда будет строго положительным ($x^2 > 0$). Числитель дроби равен $-6$, то есть является отрицательным числом. Следовательно, частное отрицательного числа на положительное всегда будет отрицательным. Таким образом, производная $y' = -\frac{6}{x^2}$ отрицательна ($y' < 0$) для всех $x$ из ее области определения.

Поскольку $y' < 0$ как на промежутке $(-\infty; 0)$, так и на промежутке $(0; +\infty)$, функция $y = \frac{6}{x}$ является убывающей на каждом из этих промежутков.

Способ 2: По определению убывающей функции

Функция $f(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1. Промежуток $(0; +\infty)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из этого промежутка, для которых выполняется условие $0 < x_1 < x_2$. Нам нужно сравнить значения функции $y(x_1) = \frac{6}{x_1}$ и $y(x_2) = \frac{6}{x_2}$.

Рассмотрим их разность:

$y(x_1) - y(x_2) = \frac{6}{x_1} - \frac{6}{x_2} = \frac{6x_2 - 6x_1}{x_1x_2} = \frac{6(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$

Проанализируем знак полученного выражения:

• Так как $x_1 < x_2$, то разность $(x_2 - x_1)$ положительна.
• Так как $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$, то их произведение $x_1x_2$ также положительно.

Поскольку числитель $6(x_2 - x_1)$ и знаменатель $x_1x_2$ положительны, вся дробь положительна. Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.

Это доказывает, что функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из этого промежутка, для которых выполняется условие $x_1 < x_2 < 0$. Снова рассмотрим разность $y(x_1) - y(x_2) = \frac{6(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$.

Проанализируем знак выражения:

• Так как $x_1 < x_2$, то разность $(x_2 - x_1)$ положительна.
• Так как $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$, то их произведение $x_1x_2$ положительно (произведение двух отрицательных чисел).

Числитель и знаменатель дроби снова положительны, значит, вся дробь положительна. Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.

Это доказывает, что функция убывает и на промежутке $(-\infty; 0)$.

Важное замечание: нельзя утверждать, что функция убывает на объединении этих промежутков $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как при переходе через точку разрыва $x=0$ свойство убывания нарушается. Например, возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Здесь $x_1 < x_2$, но $y(-1) = -6$ и $y(1) = 6$, то есть $y(x_1) < y(x_2)$, что противоречит определению убывающей функции.

Ответ: Функция $y=\frac{6}{x}$ убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $y' = -\frac{6}{x^2}$ отрицательна для всех $x$ из этих промежутков. Также это следует из определения убывающей функции: для любых $x_1$ и $x_2$ из одного и того же промежутка, таких что $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $\frac{6}{x_1} > \frac{6}{x_2}$.

8. Объяснить, почему график функции $y = \frac{1}{x}$ симметричен относительно начала координат.

График функции является симметричным относительно начала координат (точки $(0, 0)$), если сама функция является нечетной. Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже ей принадлежит).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Область определения. Функция $y = \frac{1}{x}$ определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Ее область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если некоторое число $x_0 \neq 0$ принадлежит ей, то и противоположное ему число $-x_0 \neq 0$ также принадлежит этой области. Таким образом, первое условие выполнено.

2. Проверка равенства $f(-x) = -f(x)$.
Обозначим нашу функцию как $f(x) = \frac{1}{x}$.
Найдем значение функции в точке $-x$, подставив $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$.
Теперь найдем выражение для $-f(x)$:
$-f(x) = - \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x}$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Второе условие также выполняется для всех $x$ из области определения.

Поскольку оба условия нечетной функции выполняются, функция $y = \frac{1}{x}$ является нечетной. По определению, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Это означает, что если точка с координатами $(a; b)$ лежит на графике, то и точка с координатами $(-a; -b)$ также будет лежать на этом графике.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ симметричен относительно начала координат, потому что эта функция является нечетной. Ее область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из этой области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1. Вычислить:

1) $(0,25)^{-1}$;

2) $1,5^2$;

3) $\left(1\frac{1}{3}\right)^3$;

4) $(2^3 \cdot 2^{-5})^{-1}$.

1) Для вычисления $(0,25)^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \neq 0$.
Сначала представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $(0,25)^{-1} = (\frac{1}{4})^{-1}$.
Согласно свойству степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $(\frac{1}{4})^{-1} = (\frac{4}{1})^1 = 4$.
Ответ: 4

2) Чтобы вычислить $1,5^2$, нужно возвести число 1,5 в квадрат. Это означает умножить число само на себя.
Представим 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Теперь возведем эту дробь в квадрат: $(1,5)^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Переведем полученную неправильную дробь в десятичную: $\frac{9}{4} = 2,25$.
Альтернативно, можно было просто умножить $1,5 \times 1,5 = 2,25$.
Ответ: 2,25

3) Для вычисления $(1\frac{1}{3})^3$ первым шагом преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь необходимо возвести полученную дробь в третью степень. Используем свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{64}{27}$.
Результат можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число: $2\frac{10}{27}$.
Ответ: $\frac{64}{27}$

4) Чтобы вычислить $(2^3 \cdot 2^{-5})^{-1}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим выражение в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^3 \cdot 2^{-5} = 2^{3+(-5)} = 2^{3-5} = 2^{-2}$.
Теперь исходное выражение принимает вид $(2^{-2})^{-1}$.
Далее, при возведении степени в степень их показатели перемножаются, согласно правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^{-2})^{-1} = 2^{(-2) \cdot (-1)} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

2. Назвать координаты точки, симметричной точке $A(-5; 7)$ относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат.

относительно оси абсцисс

При симметрии точки относительно оси абсцисс (оси $Ox$) ее абсцисса (координата $x$) сохраняется, а ордината (координата $y$) меняет свой знак на противоположный. Если исходная точка имеет координаты $(x; y)$, то симметричная ей точка $A_1$ будет иметь координаты $(x; -y)$.

Для точки $A(-5; 7)$, у которой $x = -5$ и $y = 7$, координаты симметричной точки $A_1$ будут:

$x_1 = -5$
$y_1 = -7$

Таким образом, точка, симметричная точке $A(-5; 7)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $(-5; -7)$.

Ответ: $(-5; -7)$.

относительно оси ординат

При симметрии точки относительно оси ординат (оси $Oy$) ее ордината (координата $y$) сохраняется, а абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный. Если исходная точка имеет координаты $(x; y)$, то симметричная ей точка $A_2$ будет иметь координаты $(-x; y)$.

Для точки $A(-5; 7)$, у которой $x = -5$ и $y = 7$, координаты симметричной точки $A_2$ будут:

$x_2 = -(-5) = 5$
$y_2 = 7$

Таким образом, точка, симметричная точке $A(-5; 7)$ относительно оси ординат, имеет координаты $(5; 7)$.

Ответ: $(5; 7)$.

относительно начала координат

При симметрии точки относительно начала координат (точки $O(0;0)$) обе ее координаты меняют свои знаки на противоположные. Если исходная точка имеет координаты $(x; y)$, то симметричная ей точка $A_3$ будет иметь координаты $(-x; -y)$.

Для точки $A(-5; 7)$, у которой $x = -5$ и $y = 7$, координаты симметричной точки $A_3$ будут:

$x_3 = -(-5) = 5$
$y_3 = -7$

Таким образом, точка, симметричная точке $A(-5; 7)$ относительно начала координат, имеет координаты $(5; -7)$.

Ответ: $(5; -7)$.