Номер 1, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 1, страница 138.

Условие.

1. Что называется областью определения функции; множеством значений функции?

Решение 4.

областью определения функции

Областью определения функции $y = f(x)$ называется множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента) $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл, то есть может быть вычислено. Иными словами, это все значения $x$, которые можно подставить в функцию, чтобы получить конечное действительное значение $y$.

Область определения функции принято обозначать как $D(f)$ или $D(y)$.

При нахождении области определения функции из множества действительных чисел необходимо исключить значения аргумента, при которых:

• происходит деление на ноль (знаменатель дроби равен нулю);
• извлекается корень четной степени из отрицательного числа;
• вычисляется логарифм неположительного числа.

Пример: Найдем область определения функции $f(x) = \frac{5}{\sqrt{x-2}}$.
Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как оно под корнем, оно должно быть $\ge 0$, а так как оно в знаменателе, оно не должно быть равно $0$).
Получаем неравенство: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.
Следовательно, область определения этой функции — это интервал $(2, +\infty)$. Запись: $D(f) = (2, +\infty)$.

Ответ: Областью определения функции называется множество всех значений аргумента, при которых функция определена (имеет смысл).

множеством значений функции

Множеством (или областью) значений функции $y = f(x)$ называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, когда переменная $x$ пробегает всю область определения функции.

Множество значений функции принято обозначать как $E(f)$ или $E(y)$.

Для нахождения множества значений функции необходимо определить, какие значения может принимать $y$ при всех допустимых значениях $x$. Это можно сделать, проанализировав свойства функции (например, ее график, экстремумы, ограниченность).

Пример: Найдем множество значений функции $f(x) = x^2 - 4$.
Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.
Наименьшее значение функции будет достигаться при наименьшем значении $x^2$, то есть при $x^2 = 0$. Это значение равно $y_{min} = 0 - 4 = -4$.
При увеличении $|x|$ значение $x^2$ неограниченно растет, а значит, и значение функции тоже. Таким образом, функция принимает все значения от $-4$ включительно и до $+\infty$.
Следовательно, множество значений функции — это промежуток $[-4, +\infty)$. Запись: $E(f) = [-4, +\infty)$.

Ответ: Множеством значений функции называется множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная) при всех значениях аргумента из области определения.