Номер 2, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 2, страница 138.

Условие.

2. Чему равна область определения и множество значений функции $y = kx + b (k \ne 0)$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = |x|$?

Решение 4.

y = kx + b (k ≠ 0)

Область определения (D(y)): Это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для линейной функции $y = kx + b$ выражение $kx + b$ определено для любого действительного числа $x$. Нет никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа. Следовательно, $x$ может принимать любое значение из множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

Множество значений (E(y)): Это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Поскольку по условию $k \neq 0$, график функции является наклонной прямой. Это означает, что для любого действительного числа $y_0$ найдется такое значение $x_0$, что $y_0 = kx_0 + b$. Решая уравнение относительно $x$, получаем $x = \frac{y - b}{k}$. Так как $k \neq 0$, для любого значения $y$ можно найти соответствующее значение $x$. Таким образом, функция принимает все действительные значения.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

y = x²

Область определения (D(y)): Функция $y = x^2$ (квадратичная парабола) определена для любого действительного числа $x$. Ограничений на $x$ нет.

Множество значений (E(y)): Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Минимальное значение функции достигается при $x=0$ и равно $y=0^2=0$. При неограниченном росте $|x|$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, функция принимает все неотрицательные значения.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

y = x³

Область определения (D(y)): Функция $y = x^3$ (кубическая парабола) определена для любого действительного числа $x$, так как операция возведения в куб не накладывает ограничений на действительные числа.

Множество значений (E(y)): Куб действительного числа может быть как положительным (для $x > 0$), так и отрицательным (для $x < 0$), и равным нулю (для $x = 0$). Для любого действительного числа $a$ уравнение $x^3 = a$ имеет действительный корень $x = \sqrt[3]{a}$. Это означает, что функция может принять любое действительное значение.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

y = |x|

Область определения (D(y)): Функция $y = |x|$ (модуль $x$) определена для любого действительного числа $x$. Ограничений на $x$ нет.

Множество значений (E(y)): По определению, модуль числа — это его абсолютное значение, которое всегда неотрицательно. То есть, $|x| \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Минимальное значение, равное 0, достигается при $x=0$. Функция принимает все неотрицательные значения.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.