Номер 350, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 350, страница 131.

Условие.

350. При каких $x$ значения функции $y = x^2$:

1) больше 9;

2) не больше 25;

3) не меньше 16;

4) меньше 36?

Решение 4.

Для решения задачи необходимо для каждого случая составить и решить неравенство относительно переменной $x$, используя заданную функцию $y = x^2$.

1) больше 9

Требуется найти значения $x$, при которых $y > 9$. Подставим выражение для функции:

$x^2 > 9$

Это квадратичное неравенство. Решим его, извлекая квадратный корень из обеих частей. Так как $x^2 = |x|^2$, получаем:

$\sqrt{x^2} > \sqrt{9}$

$|x| > 3$

Неравенство с модулем вида $|a| > b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$.

Следовательно, $x > 3$ или $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

2) не больше 25

Условие "не больше 25" означает "меньше или равно 25". Требуется найти значения $x$, при которых $y \le 25$.

Подставим выражение для функции:

$x^2 \le 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{x^2} \le \sqrt{25}$

$|x| \le 5$

Неравенство с модулем вида $|a| \le b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Следовательно, $-5 \le x \le 5$.

Ответ: $x \in [-5, 5]$.

3) не меньше 16

Условие "не меньше 16" означает "больше или равно 16". Требуется найти значения $x$, при которых $y \ge 16$.

Подставим выражение для функции:

$x^2 \ge 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{x^2} \ge \sqrt{16}$

$|x| \ge 4$

Данное неравенство равносильно совокупности $x \ge 4$ или $x \le -4$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

4) меньше 36

Требуется найти значения $x$, при которых $y < 36$.

Подставим выражение для функции:

$x^2 < 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{x^2} < \sqrt{36}$

$|x| < 6$

Данное неравенство равносильно двойному неравенству $-6 < x < 6$.

Ответ: $x \in (-6, 6)$.