Номер 345, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 345, страница 131.

Условие.

345. Сравнить значения функции $y(x)=x^2$ при:

1) $x=2,5$ и $x=3\frac{1}{3}$;

2) $x=0,4$ и $x=0,3$;

3) $x=-0,2$ и $x=-0,1$;

4) $x=4,1$ и $x=-5,2$.

Решение 4.

Для сравнения значений функции $y(x) = x^2$ при различных значениях аргумента $x$ можно либо напрямую вычислить значения функции, либо использовать ее свойства.

• Функция $y=x^2$ является четной, то есть $y(-x) = y(x)$. Значение функции зависит от модуля аргумента.
• При $x \ge 0$ функция возрастает (большему значению $x$ соответствует большее значение $y$).
• При $x \le 0$ функция убывает (большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$).

1) $x=2.5$ и $x=3\frac{1}{3}$

Сравним значения $y(2.5)$ и $y(3\frac{1}{3})$.

Способ 1: Прямое вычисление.

Найдем значение функции для $x_1=2.5$:

$y(2.5) = (2.5)^2 = 6.25$

Найдем значение функции для $x_2=3\frac{1}{3}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

$y(3\frac{1}{3}) = y(\frac{10}{3}) = (\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9} = 11\frac{1}{9}$

Сравниваем полученные значения: $6.25$ и $11\frac{1}{9}$. Так как $11\frac{1}{9} > 6.25$, то $y(3\frac{1}{3}) > y(2.5)$.

Способ 2: Использование свойств функции.

Оба аргумента, $2.5$ и $3\frac{1}{3}$, положительны. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^2$ возрастает. Сравним аргументы: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$. Очевидно, что $3\frac{1}{3} > 2.5$. Поскольку функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Ответ: $y(2.5) < y(3\frac{1}{3})$.

2) $x=0.4$ и $x=0.3$

Сравним значения $y(0.4)$ и $y(0.3)$.

Способ 1: Прямое вычисление.

$y(0.4) = (0.4)^2 = 0.16$

$y(0.3) = (0.3)^2 = 0.09$

Сравниваем: $0.16 > 0.09$, следовательно $y(0.4) > y(0.3)$.

Способ 2: Использование свойств функции.

Оба аргумента, $0.4$ и $0.3$, положительны. Так как $0.4 > 0.3$, а на промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^2$ возрастает, то $y(0.4) > y(0.3)$.

Ответ: $y(0.4) > y(0.3)$.

3) $x=-0.2$ и $x=-0.1$

Сравним значения $y(-0.2)$ и $y(-0.1)$.

Способ 1: Прямое вычисление.

$y(-0.2) = (-0.2)^2 = 0.04$

$y(-0.1) = (-0.1)^2 = 0.01$

Сравниваем: $0.04 > 0.01$, следовательно $y(-0.2) > y(-0.1)$.

Способ 2: Использование свойств функции.

Оба аргумента, $-0.2$ и $-0.1$, отрицательны. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y=x^2$ убывает. Сравним аргументы: $-0.2 < -0.1$. Поскольку функция убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $y(-0.2) > y(-0.1)$.

Ответ: $y(-0.2) > y(-0.1)$.

4) $x=4.1$ и $x=-5.2$

Сравним значения $y(4.1)$ и $y(-5.2)$.

Способ 1: Прямое вычисление.

$y(4.1) = (4.1)^2 = 16.81$

$y(-5.2) = (-5.2)^2 = 27.04$

Сравниваем: $16.81 < 27.04$, следовательно $y(4.1) < y(-5.2)$.

Способ 2: Использование свойств функции.

Функция $y=x^2$ является четной, поэтому ее значение зависит от модуля аргумента: чем больше $|x|$, тем больше $y$. Сравним модули аргументов:

$|4.1| = 4.1$

$|-5.2| = 5.2$

Так как $|-5.2| > |4.1|$, то и значение функции в точке $x=-5.2$ будет больше, чем в точке $x=4.1$.

Ответ: $y(4.1) < y(-5.2)$.