Номер 4, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 4, страница 130.

Условие.

Рис. 37

4. По графику функции $y=f(x)$ (рис. 37) найти:

1) значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;

2) координаты точек, симметричных точкам A, B и C относительно оси ординат; относительно начала координат.

Решение 4.

1) значения x, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;

Для решения этой задачи необходимо проанализировать график функции $y = f(x)$.

Положительные значения:
Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (оси Ox). Из графика видно, что это условие выполняется на двух интервалах: от -3 до 0 и от 0 до 4. В точке $x=0$ график касается оси, то есть $f(0)=0$, поэтому эта точка не включается в промежутки, где функция строго положительна.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-3; 0) \cup (0; 4)$.

Отрицательные значения:
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс (оси Ox). Из графика видно, что это происходит при значениях x, которые меньше -3, а также при значениях x, которые больше 4.

Ответ: функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

2) координаты точек, симметричных точкам A, B и C относительно оси ординат; относительно начала координат.

Сначала определим координаты точек A, B и C по графику:
Точка A имеет координаты $(-2; 2)$.
Точка B имеет координаты $(1; 1)$.
Точка C имеет координаты $(4; 0)$.

Симметрия относительно оси ординат (оси Oy):
При симметрии относительно оси ординат у любой точки $(x; y)$ изменяется знак абсциссы, а ордината остается той же. Таким образом, симметричная точка будет иметь координаты $(-x; y)$.
Для точки A$(-2; 2)$ симметричная точка $A_1$ имеет координаты $(-(-2); 2) = (2; 2)$.
Для точки B$(1; 1)$ симметричная точка $B_1$ имеет координаты $(-1; 1)$.
Для точки C$(4; 0)$ симметричная точка $C_1$ имеет координаты $(-4; 0)$.

Ответ: Координаты симметричных точек: $A_1(2; 2)$, $B_1(-1; 1)$, $C_1(-4; 0)$.

Симметрия относительно начала координат:
При симметрии относительно начала координат у любой точки $(x; y)$ изменяются знаки обеих координат. Таким образом, симметричная точка будет иметь координаты $(-x; -y)$.
Для точки A$(-2; 2)$ симметричная точка $A_2$ имеет координаты $(-(-2); -2) = (2; -2)$.
Для точки B$(1; 1)$ симметричная точка $B_2$ имеет координаты $(-1; -1)$.
Для точки C$(4; 0)$ симметричная точка $C_2$ имеет координаты $(-4; -0) = (-4; 0)$.

Ответ: Координаты симметричных точек: $A_2(2; -2)$, $B_2(-1; -1)$, $C_2(-4; 0)$.