Номер 6, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 6, страница 129.

Условие.

6. При каких значениях $x$ функция $y=x^2$ возрастает; убывает? От-вет обосновать.

Решение 4.

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = x^2$ возрастает, а на каких убывает, необходимо исследовать ее поведение. Это можно сделать, проанализировав график функции (парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0,0)$) или используя строгое алгебраическое определение возрастания и убывания.

Обоснование:

Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Рассмотрим разность значений нашей функции $y = x^2$ в двух произвольных точках $x_1$ и $x_2$, где $x_2 > x_1$:

$y_2 - y_1 = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$

Поскольку по нашему условию $x_2 > x_1$, то множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен. Следовательно, знак всей разности $y_2 - y_1$ зависит только от знака множителя $(x_2 + x_1)$.

возрастает

Функция возрастает, когда $y_2 - y_1 > 0$. Это выполняется, если $(x_2 + x_1) > 0$.

Рассмотрим промежуток $x \in [0, +\infty)$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — любые две точки из этого промежутка, такие что $0 \le x_1 < x_2$. Так как оба числа неотрицательны и хотя бы одно из них (а именно $x_2$) строго больше нуля, их сумма $(x_2 + x_1)$ будет положительной. Следовательно, $y_2 - y_1 > 0$, что означает $y_2 > y_1$. Таким образом, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

убывает

Функция убывает, когда $y_2 - y_1 < 0$. Это выполняется, если $(x_2 + x_1) < 0$.

Рассмотрим промежуток $x \in (-\infty, 0]$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — любые две точки из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 \le 0$. Так как оба числа неположительны и хотя бы одно из них (а именно $x_1$) строго меньше нуля, их сумма $(x_2 + x_1)$ будет отрицательной. Следовательно, $y_2 - y_1 < 0$, что означает $y_2 < y_1$. Таким образом, на этом промежутке функция убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.