Номер 4, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 4, страница 129.

Условие.

4. Почему график функции $y = x^2$ симметричен относительно оси ординат?

Решение 4.

График функции является симметричным относительно оси ординат (оси $y$), если эта функция является четной.

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения (которая должна быть симметрична относительно нуля) выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2$ и проверим, является ли она четной. Обозначим ее как $f(x) = x^2$.

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.

2. Подставим $-x$ в функцию вместо $x$, чтобы найти $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2$

3. Упростим полученное выражение. Возведение в квадрат произведения равно произведению квадратов, поэтому:
$(-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$

4. Теперь сравним результат с исходной функцией. Мы получили, что $f(-x) = x^2$. Исходная функция была $f(x) = x^2$. Следовательно, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Так как условие четности выполняется, функция $y=x^2$ является четной. Геометрически это означает, что для любой точки с координатами $(a, b)$, лежащей на графике, симметричная ей относительно оси ординат точка с координатами $(-a, b)$ также будет лежать на этом графике. Например, точки $(2, 4)$ и $(-2, 4)$ обе принадлежат параболе $y=x^2$ и симметричны относительно оси $y$.

Ответ: График функции $y=x^2$ симметричен относительно оси ординат, потому что данная функция является четной. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, а именно: $(-x)^2 = x^2$.