Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Как называется график функции $y = x^2$?

1. График функции $y = x^2$ называется параболой.
Это кривая, которая является графическим представлением квадратичной функции. Общий вид квадратичной функции — $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае, для функции $y = x^2$, мы имеем простейший вид, где коэффициенты равны $a=1$, $b=0$ и $c=0$.
Парабола $y = x^2$ имеет следующие ключевые свойства:
- Ее вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Эта точка является точкой минимума функции.
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент $a$ при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
- Она симметрична относительно оси ординат (оси $y$), уравнение которой $x=0$.
Ответ: парабола.

2. При каких значениях $x$ функция $y = x^2$ принимает положительные значения?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = x^2$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Подставляя выражение для функции, получаем неравенство: $x^2 > 0$

Выражение $x^2$ — это квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Равенство $x^2 = 0$ выполняется только при $x = 0$. В этом случае значение функции $y = 0$, что не является положительным.

Для любого другого действительного числа, не равного нулю ($x \neq 0$), его квадрат $x^2$ будет строго больше нуля. Это верно как для положительных чисел ($x > 0$), так и для отрицательных ($x < 0$), поскольку произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.

Таким образом, функция $y = x^2$ принимает положительные значения при любых значениях $x$, кроме $x = 0$.

Ответ: при всех значениях $x$, кроме $x=0$.

3. В какой точке парабола $y = x^2$ касается оси абсцисс?

3. Чтобы найти точку, в которой парабола $y = x^2$ касается оси абсцисс, необходимо найти их общие точки. Ось абсцисс (ось $Ox$) задается уравнением $y=0$.

Для нахождения точки пересечения или касания нужно решить систему, состоящую из уравнений параболы и оси абсцисс:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 0 \end{cases} $

Подставим значение $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 = 0$

Данное квадратное уравнение имеет один-единственный корень (корень кратности 2). Это означает, что график функции не пересекает ось в двух точках, а имеет с ней ровно одну общую точку, то есть касается ее. Решая уравнение, получаем:

$x = 0$

Теперь найдем соответствующую ординату $y$, подставив найденное значение $x$ в уравнение параболы:

$y = 0^2 = 0$

Таким образом, парабола и ось абсцисс имеют только одну общую точку с координатами $(0, 0)$. Эта точка является вершиной данной параболы.

Ответ: Парабола $y=x^2$ касается оси абсцисс в точке $(0, 0)$.

4. Почему график функции $y = x^2$ симметричен относительно оси ординат?

График функции является симметричным относительно оси ординат (оси $y$), если эта функция является четной.

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения (которая должна быть симметрична относительно нуля) выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2$ и проверим, является ли она четной. Обозначим ее как $f(x) = x^2$.

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.

2. Подставим $-x$ в функцию вместо $x$, чтобы найти $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2$

3. Упростим полученное выражение. Возведение в квадрат произведения равно произведению квадратов, поэтому:
$(-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$

4. Теперь сравним результат с исходной функцией. Мы получили, что $f(-x) = x^2$. Исходная функция была $f(x) = x^2$. Следовательно, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Так как условие четности выполняется, функция $y=x^2$ является четной. Геометрически это означает, что для любой точки с координатами $(a, b)$, лежащей на графике, симметричная ей относительно оси ординат точка с координатами $(-a, b)$ также будет лежать на этом графике. Например, точки $(2, 4)$ и $(-2, 4)$ обе принадлежат параболе $y=x^2$ и симметричны относительно оси $y$.

Ответ: График функции $y=x^2$ симметричен относительно оси ординат, потому что данная функция является четной. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, а именно: $(-x)^2 = x^2$.

5. Какую точку называют вершиной параболы?

б.

Вершиной параболы называют особую точку этой кривой, в которой она пересекает свою ось симметрии. Эта точка является точкой экстремума (наименьшего или наибольшего значения) для квадратичной функции, графиком которой служит парабола.

Если парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$, то ее вершина играет ключевую роль:

1. Геометрически: это точка, в которой парабола меняет свое направление. Если ветви параболы направлены вверх (при $a > 0$), то в вершине кривая переходит от убывания к возрастанию. Если ветви направлены вниз (при $a < 0$), то в вершине кривая переходит от возрастания к убыванию.

2. Алгебраически: это точка, в которой значение функции $y$ достигает своего минимума (если $a > 0$) или максимума (если $a < 0$).

Координаты вершины параболы, обозначаемые как $(x_0; y_0)$, можно вычислить по следующим формулам:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината вершины находится подстановкой значения $x_0$ в уравнение параболы: $y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + bx_0 + c$.

Таким образом, вершина однозначно определяет положение параболы на плоскости и является точкой, относительно которой парабола симметрична.

Ответ: Вершиной параболы называют точку ее пересечения с осью симметрии, в которой квадратичная функция, задающая параболу, достигает своего экстремального (наименьшего или наибольшего) значения.

6. При каких значениях $x$ функция $y=x^2$ возрастает; убывает? От-вет обосновать.

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = x^2$ возрастает, а на каких убывает, необходимо исследовать ее поведение. Это можно сделать, проанализировав график функции (парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0,0)$) или используя строгое алгебраическое определение возрастания и убывания.

Обоснование:

Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Рассмотрим разность значений нашей функции $y = x^2$ в двух произвольных точках $x_1$ и $x_2$, где $x_2 > x_1$:

$y_2 - y_1 = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$

Поскольку по нашему условию $x_2 > x_1$, то множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен. Следовательно, знак всей разности $y_2 - y_1$ зависит только от знака множителя $(x_2 + x_1)$.

возрастает

Функция возрастает, когда $y_2 - y_1 > 0$. Это выполняется, если $(x_2 + x_1) > 0$.

Рассмотрим промежуток $x \in [0, +\infty)$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — любые две точки из этого промежутка, такие что $0 \le x_1 < x_2$. Так как оба числа неотрицательны и хотя бы одно из них (а именно $x_2$) строго больше нуля, их сумма $(x_2 + x_1)$ будет положительной. Следовательно, $y_2 - y_1 > 0$, что означает $y_2 > y_1$. Таким образом, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

убывает

Функция убывает, когда $y_2 - y_1 < 0$. Это выполняется, если $(x_2 + x_1) < 0$.

Рассмотрим промежуток $x \in (-\infty, 0]$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — любые две точки из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 \le 0$. Так как оба числа неположительны и хотя бы одно из них (а именно $x_1$) строго меньше нуля, их сумма $(x_2 + x_1)$ будет отрицательной. Следовательно, $y_2 - y_1 < 0$, что означает $y_2 < y_1$. Таким образом, на этом промежутке функция убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

7. Что такое фокус параболы?

Фокус параболы — это одна из ключевых точек, определяющих форму и свойства этой кривой. Понимание фокуса позволяет описать параболу как с геометрической, так и с физической точки зрения.

Геометрическое определение

Парабола представляет собой геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (называемой директрисой).

Пусть есть точка F — фокус, и прямая d — директриса. Тогда любая точка M, принадлежащая параболе, удовлетворяет условию:

$|MF| = \rho(M, d)$

где $|MF|$ — это расстояние от точки M до фокуса F, а $\rho(M, d)$ — это расстояние от точки M до директрисы d (длина перпендикуляра, опущенного из M на d). Прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе, является осью симметрии параболы. Вершина параболы лежит на этой оси ровно посередине между фокусом и директрисой.

Ответ: Фокус — это особая точка, относительно которой (и соответствующей ей прямой-директрисы) строится парабола как множество равноудаленных точек.

Оптическое (физическое) свойство

Наиболее известное свойство фокуса связано с отражением лучей. Если параболу представить в виде зеркальной поверхности (параболическое зеркало), то:

• Все лучи, параллельные оси симметрии параболы, после отражения от неё соберутся в одной точке — в фокусе. Это свойство используется в спутниковых антеннах ("тарелках"), где фокус — это место установки приёмника сигнала.
• Если в фокусе параболы поместить источник света, то все лучи, отразившись от параболы, образуют пучок, параллельный её оси симметрии. Это свойство применяется в автомобильных фарах, прожекторах и телескопах-рефлекторах для создания мощного направленного луча света.

Ответ: Фокус — это точка, в которой собираются отраженные от параболы лучи, идущие параллельно её оси, или точка, из которой исходят лучи, становящиеся параллельными после отражения.

Координаты фокуса

Положение фокуса можно определить математически через уравнение параболы.

1. Для канонического уравнения параболы $y^2 = 2px$, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вправо, фокус имеет координаты $F(p/2, 0)$. Величина $p$ называется фокальным параметром.

2. Для параболы, заданной в школьном курсе уравнением $y = ax^2 + bx + c$, с вертикальной осью симметрии:

Сначала находятся координаты вершины $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

$y_v = a(x_v)^2 + bx_v + c = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$

Фокус $F$ лежит на оси симметрии параболы (прямая $x = x_v$), поэтому его координата $x_F$ совпадает с $x_v$. Координата $y_F$ находится смещением от вершины на расстояние $\frac{1}{4a}$ вдоль оси симметрии. Если ветви параболы направлены вверх ($a>0$), то фокус находится выше вершины; если вниз ($a<0$) — ниже.

Координаты фокуса $F(x_F, y_F)$ равны:

$x_F = -\frac{b}{2a}$

$y_F = y_v + \frac{1}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} + \frac{1}{4a} = \frac{1 - (b^2 - 4ac)}{4a}$

Ответ: Для параболы $y = ax^2 + bx + c$ фокус имеет координаты $F(-\frac{b}{2a}, y_v + \frac{1}{4a})$, где $y_v$ — ордината вершины.

8. Как называется график функции $y = x^3$?

8. График функции $y = x^3$ имеет специальное название — кубическая парабола.

Это название используется для описания характерной кривой, которую образует данная функция. Чтобы понять, почему она так выглядит и называется, рассмотрим её ключевые свойства:

• Область определения и область значений: Функция определена для всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), и её значения также принимают любые действительные числа ($y \in \mathbb{R}$).
• Симметрия: График симметричен относительно начала координат, точки $(0, 0)$. Это является визуальным проявлением того, что функция является нечётной, так как для любого $x$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
• Расположение: Кривая расположена в I и III координатных четвертях. Это значит, что если $x > 0$, то $y > 0$, а если $x < 0$, то $y < 0$. График проходит через начало координат.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также всегда увеличивается.
• Точка перегиба: В отличие от обычной (квадратичной) параболы, у которой есть вершина (точка экстремума), у кубической параболы в точке $(0, 0)$ находится точка перегиба. В этой точке график меняет направление своей выпуклости: при $x < 0$ он выпуклый вверх, а при $x > 0$ — выпуклый вниз. Это придает графику его характерную S-образную форму.

Именно эта совокупность свойств отличает кубическую параболу от других графиков и определяет её название.

Ответ: Кубическая парабола.

9. Перечислить свойства функции $y=x^3$.

1. Область определения
Функция $y = x^3$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений аргумента $x$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, или $x \in \mathbb{R}$.

2. Область значений
Функция является непрерывной и неограниченной как снизу, так и сверху ($\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ и $\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$). Следовательно, она принимает все действительные значения.
Ответ: область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, или $y \in \mathbb{R}$.

3. Четность и нечетность
Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$.
Ответ: функция нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x=0$: $y = 0^3 = 0$.
Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (нулей функции), приравняем $y$ к нулю: $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.
Ответ: график пересекает оси координат в одной точке — начале координат $(0; 0)$.

5. Промежутки знакопостоянства
Найдем, на каких промежутках функция положительна или отрицательна.
$y > 0$ при $x^3 > 0$, что выполняется при $x > 0$.
$y < 0$ при $x^3 < 0$, что выполняется при $x < 0$.
Ответ: функция положительна ($y>0$) на интервале $(0; +\infty)$ и отрицательна ($y<0$) на интервале $(-\infty; 0)$.

6. Промежутки возрастания и убывания (монотонность)
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3)' = 3x^2$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то и производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для любого $x$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Точки экстремума (максимума и минимума)
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. $y' = 3x^2 = 0$ при $x=0$.
Так как производная не меняет свой знак при переходе через точку $x=0$ (она неотрицательна и слева, и справа), точка $x=0$ не является точкой экстремума.
Ответ: у функции нет точек экстремума.

8. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Найдем вторую производную функции: $y'' = (3x^2)' = 6x$.
При $x < 0$, вторая производная $y'' < 0$, следовательно, на этом промежутке график функции выпуклый вверх.
При $x > 0$, вторая производная $y'' > 0$, следовательно, на этом промежутке график функции вогнутый (или выпуклый вниз).
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, поэтому точка $(0; y(0)) = (0; 0)$ является точкой перегиба.
Ответ: график функции выпуклый вверх на $(-\infty; 0)$, вогнутый на $(0; +\infty)$; точка перегиба — $(0; 0)$.

9. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
Горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} x^3 = \pm\infty$.
Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ нет, так как $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^2 = +\infty$, а предел должен быть конечным числом.
Ответ: асимптот нет.

1. Построить точки, симметричные точкам $A, B, C, D, E$ и $O$ относительно оси ординат; относительно начала координат (рис. 36).

$y$

$x$

$C$

$A$

$B$

$1$

$O$

$1$

$D$

$E$

Рис. 36

Для решения задачи сначала определим координаты исходных точек по графику на рис. 36. Примем, что одна клетка координатной сетки равна единице.
Координаты точек:
$A(3, 3)$
$B(-2, 2)$
$C(1, 4)$
$D(0, -1)$
$E(-2, -1)$
$O(0, 0)$

относительно оси ординат

Симметрия относительно оси ординат (оси $y$) означает, что для любой точки с координатами $(x, y)$ симметричная ей точка будет иметь координаты $(-x, y)$. То есть, абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный, а ордината (координата $y$) остается неизменной.

Найдем координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат (обозначим их $A_1, B_1$ и т.д.):
$A(3, 3) \rightarrow A_1(-3, 3)$
$B(-2, 2) \rightarrow B_1(-(-2), 2) = B_1(2, 2)$
$C(1, 4) \rightarrow C_1(-1, 4)$
$D(0, -1) \rightarrow D_1(-0, -1) = D_1(0, -1)$. Точка $D$ лежит на оси ординат, поэтому она отображается на саму себя.
$E(-2, -1) \rightarrow E_1(-(-2), -1) = E_1(2, -1)$
$O(0, 0) \rightarrow O_1(-0, 0) = O_1(0, 0)$. Точка $O$ (начало координат) лежит на оси ординат и также отображается на саму себя.

Ответ: Координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат: $A_1(-3, 3)$, $B_1(2, 2)$, $C_1(-1, 4)$, $D_1(0, -1)$, $E_1(2, -1)$, $O_1(0, 0)$.

относительно начала координат

Симметрия относительно начала координат (точки $O(0,0)$) означает, что для любой точки с координатами $(x, y)$ симметричная ей точка будет иметь координаты $(-x, -y)$. То есть, обе координаты (и абсцисса, и ордината) меняют свои знаки на противоположные.

Найдем координаты точек, симметричных данным относительно начала координат (обозначим их $A_2, B_2$ и т.д.):
$A(3, 3) \rightarrow A_2(-3, -3)$
$B(-2, 2) \rightarrow B_2(-(-2), -2) = B_2(2, -2)$
$C(1, 4) \rightarrow C_2(-1, -4)$
$D(0, -1) \rightarrow D_2(-0, -(-1)) = D_2(0, 1)$
$E(-2, -1) \rightarrow E_2(-(-2), -(-1)) = E_2(2, 1)$
$O(0, 0) \rightarrow O_2(-0, -0) = O_2(0, 0)$. Начало координат симметрично самому себе.

Ответ: Координаты точек, симметричных данным относительно начала координат: $A_2(-3, -3)$, $B_2(2, -2)$, $C_2(-1, -4)$, $D_2(0, 1)$, $E_2(2, 1)$, $O_2(0, 0)$.

2. Среди точек $A(-1; 3)$, $B(1; 5)$, $C(2; -4)$, $D(1; 3)$, $E(-1; 5)$, $F(-1; -5)$ найти пары, симметричные:

относительно оси $Oy$

относительно начала координат

относительно оси Oy

Две точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$ считаются симметричными относительно оси ординат (оси Oy), если их ординаты (координаты y) совпадают, а абсциссы (координаты x) являются противоположными числами. То есть, должно выполняться условие: $y_1 = y_2$ и $x_1 = -x_2$.

Проверим все точки из списка: A(-1; 3), B(1; 5), C(2; -4), D(1; 3), E(-1; 5), F(-1; -5).

1. Для точки A(-1; 3) ищем точку с координатами $(-(-1); 3)$, то есть (1; 3). В списке есть точка D(1; 3). Таким образом, точки A и D симметричны относительно оси Oy.

2. Для точки B(1; 5) ищем точку с координатами (-1; 5). В списке есть точка E(-1; 5). Таким образом, точки B и E симметричны относительно оси Oy.

3. Для точки C(2; -4) ищем точку с координатами (-2; -4). Такой точки в списке нет.

4. Для точки F(-1; -5) ищем точку с координатами (1; -5). Такой точки в списке нет.

Ответ: A(-1; 3) и D(1; 3); B(1; 5) и E(-1; 5).

относительно начала координат

Две точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$ считаются симметричными относительно начала координат O(0; 0), если их соответствующие координаты являются противоположными числами. То есть, должно выполняться условие: $x_1 = -x_2$ и $y_1 = -y_2$.

Проверим все точки из списка.

1. Для точки A(-1; 3) ищем точку с координатами $(-(-1); -3)$, то есть (1; -3). Такой точки в списке нет.

2. Для точки B(1; 5) ищем точку с координатами (-1; -5). В списке есть точка F(-1; -5). Таким образом, точки B и F симметричны относительно начала координат.

3. Для точки C(2; -4) ищем точку с координатами (-2; -(-4)), то есть (-2; 4). Такой точки в списке нет.

4. Для точки D(1; 3) ищем точку с координатами (-1; -3). Такой точки в списке нет.

5. Для точки E(-1; 5) ищем точку с координатами $(-(-1); -5)$, то есть (1; -5). Такой точки в списке нет.

Ответ: B(1; 5) и F(-1; -5).

3. Вычислить значения $x^2$ и $x^3$ при $x=0,1$; $x=-1\frac{1}{2}$; $x=0$; $x=-\frac{1}{3}$.

при x = 0,1;

Для вычисления значений $x^2$ и $x^3$ подставим в них значение $x=0,1$.

Вычисляем $x^2$:
$x^2 = (0,1)^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.

Вычисляем $x^3$:
$x^3 = (0,1)^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.

Ответ: $x^2 = 0,01$; $x^3 = 0,001$.

x = $-1\frac{1}{2}$;

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x = -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Вычисляем $x^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат:
$x^2 = (-\frac{3}{2})^2 = \frac{(-3)^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Вычисляем $x^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат:
$x^3 = (-\frac{3}{2})^3 = \frac{(-3)^3}{2^3} = -\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8}$.

Ответ: $x^2 = 2\frac{1}{4}$; $x^3 = -3\frac{3}{8}$.

x = 0;

Подставляем значение $x=0$ в выражения.

Вычисляем $x^2$:
$x^2 = 0^2 = 0$.

Вычисляем $x^3$:
$x^3 = 0^3 = 0$.

Ответ: $x^2 = 0$; $x^3 = 0$.

x = $-\frac{1}{3}$.

Подставляем значение $x=-\frac{1}{3}$ в выражения.

Вычисляем $x^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат:
$x^2 = (-\frac{1}{3})^2 = \frac{(-1)^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Вычисляем $x^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат:
$x^3 = (-\frac{1}{3})^3 = \frac{(-1)^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $x^2 = \frac{1}{9}$; $x^3 = -\frac{1}{27}$.