Страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют стандартным видом числа? Что такое порядок числа?

Что называют стандартным видом числа?

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Эта форма записи, также известная как научная нотация, особенно удобна для работы с очень большими или очень маленькими числами.

В этой записи число $a$ называется мантиссой числа, а целое число $n$ — порядком числа.

Пример 1 (большое число): Расстояние от Земли до Солнца примерно равно 149 600 000 км. Чтобы записать это число в стандартном виде, мы перемещаем запятую влево так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. Мы переместили запятую на 8 позиций, поэтому число запишется как $1,496 \cdot 10^8$ км. Здесь мантисса $a = 1,496$, а порядок $n = 8$.

Пример 2 (маленькое число): Масса молекулы воды составляет примерно 0,0000000000000000000000299 грамма. Для записи в стандартном виде мы перемещаем запятую вправо до тех пор, пока перед ней не окажется одна ненулевая цифра. Запятая смещается на 23 позиции, поэтому число запишется как $2,99 \cdot 10^{-23}$ г. Здесь мантисса $a = 2,99$, а порядок $n = -23$.

Ответ: Стандартным видом числа называется его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ является целым числом.

Что такое порядок числа?

Порядком числа, записанного в стандартном виде $a \cdot 10^n$, называют показатель степени $n$. Порядок характеризует величину числа: он показывает, во сколько раз (в степенях десяти) число больше или меньше единицы.

Положительный порядок ($n > 0$) указывает на то, что число является большим (больше или равно 10). Чем больше значение $n$, тем больше само число. Например, в числе $1,496 \cdot 10^8$ порядок равен 8.

Отрицательный порядок ($n < 0$) указывает на то, что число является малым (положительное, но меньше 1). Чем больше абсолютное значение отрицательного порядка, тем меньше само число. Например, в числе $2,99 \cdot 10^{-23}$ порядок равен -23.

Нулевой порядок ($n = 0$) означает, что число находится в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Например, число 7,5 в стандартном виде записывается как $7,5 \cdot 10^0$, и его порядок равен 0.

Ответ: Порядок числа — это показатель степени $n$ в стандартной записи числа $a \cdot 10^n$.

2. По записи числа в виде $6,8 \cdot 10^5$ объяснить, как найти его порядок.

2.

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ является целым числом. Число $a$ называется мантиссой числа, а число $n$ — порядком числа.

В заданном выражении $6,8 \cdot 10^5$ число уже представлено в стандартном виде. Чтобы найти его порядок, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Убедиться, что число записано в стандартном виде. Для этого проверяем мантиссу (число, которое умножается на степень десяти). В нашем случае мантисса равна 6,8. Она удовлетворяет условию $1 \le 6,8 < 10$.
2. Определить показатель степени у основания 10. Этот показатель и является порядком числа. В выражении $6,8 \cdot 10^5$ основание 10 возведено в степень 5.

Следовательно, порядок данного числа — это показатель степени, в которую возводится десятка.

Ответ: Порядок числа $6,8 \cdot 10^5$ равен 5.

3. Что значит фраза: «Число А на Б порядков больше числа В»?

Фраза «Число А на 5 порядков больше числа В» означает, что число $A$ относится к числу $B$ как $10^5$ к 1. Иными словами, число $A$ в $10^5$ раз больше числа $B$.

В математике и естественных науках понятие «порядок величины» используется для сравнения чисел и, как правило, обозначает степень числа 10.

• Если число на один порядок больше, оно в $10^1 = 10$ раз больше.
• Если число на два порядка больше, оно в $10^2 = 100$ раз больше.
• Если число на $n$ порядков больше, оно в $10^n$ раз больше.

В данном случае речь идет о 5 порядках, следовательно, число $A$ больше числа $B$ в $10^5$ раз.

Рассчитаем это значение: $10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100~000$ (сто тысяч).

Таким образом, утверждение можно записать в виде математического равенства: $A = B \times 10^5$ или $A = 100~000 \times B$.

Пример: Если число $B = 3$, то число $A$, которое на 5 порядков больше, будет равно: $A = 3 \times 100~000 = 300~000$.

Ответ: Это означает, что число $A$ в 100 000 раз больше числа $B$.

1. Записать в стандартном виде число:

1) $380$;

2) $2\,750\,000$;

3) $380\,000\,000$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) Для числа 380.
Чтобы получить коэффициент $a$, который должен быть в диапазоне от 1 до 10, мы должны поставить запятую после первой значащей цифры. В данном случае это цифра 3. Получаем число 3,8.
Теперь определим показатель степени $n$. Исходное число 380 больше, чем 3,8. Чтобы из 3,8 получить 380, нужно перенести запятую на 2 знака вправо. Перенос запятой на 2 знака вправо эквивалентен умножению на $10^2$.
Таким образом, $380 = 3,8 \cdot 10^2$.
Ответ: $3,8 \cdot 10^2$

2) Для числа 2 750 000.
Поставим запятую после первой значащей цифры, то есть после 2. Получим коэффициент $a = 2,75$.
Чтобы из 2,75 получить исходное число 2 750 000, нужно перенести запятую на 6 знаков вправо. Это соответствует умножению на $10^6$.
Таким образом, $2 \ 750 \ 000 = 2,75 \cdot 10^6$.
Ответ: $2,75 \cdot 10^6$

3) Для числа 380 000 000.
Коэффициент $a$ получается путем установки запятой после первой цифры 3. Получаем $a = 3,8$.
Чтобы из 3,8 получить 380 000 000, необходимо перенести запятую на 8 знаков вправо. Это эквивалентно умножению на $10^8$.
Таким образом, $380 \ 000 \ 000 = 3,8 \cdot 10^8$.
Ответ: $3,8 \cdot 10^8$