Страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Выполнить действия:

1) $10^2 \cdot 10^{-9}$;

2) $10^{-5} \cdot 10^0$;

3) $10^6 : 10^3$;

4) $10^{-8} : 10^{-7}$.

1) Для выполнения умножения степеней с одинаковым основанием используется правило: основание остается тем же, а показатели степеней складываются. Математически это свойство записывается так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном выражении $10^2 \cdot 10^{-9}$ основание $a=10$, а показатели степеней $m=2$ и $n=-9$.
Применяя правило, получаем:
$10^2 \cdot 10^{-9} = 10^{2 + (-9)} = 10^{2-9} = 10^{-7}$.
Ответ: $10^{-7}$.

2) Здесь мы также умножаем степени с одинаковым основанием. Используем то же правило, что и в первом пункте: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Для выражения $10^{-5} \cdot 10^0$ основание $a=10$, показатели степеней $m=-5$ и $n=0$.
Складываем показатели:
$10^{-5} \cdot 10^0 = 10^{-5+0} = 10^{-5}$.
Альтернативно можно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$). Тогда $10^0=1$, и выражение упрощается до $10^{-5} \cdot 1 = 10^{-5}$.
Ответ: $10^{-5}$.

3) Для деления степеней с одинаковым основанием применяется правило: основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула для этого свойства: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В выражении $10^6 : 10^3$ основание $a=10$, показатель делимого $m=6$, а показатель делителя $n=3$.
Выполняем вычитание показателей:
$10^6 : 10^3 = 10^{6-3} = 10^3$.
(Значение $10^3$ равно $1000$).
Ответ: $10^3$.

4) Используем правило деления степеней с одинаковым основанием, как и в предыдущем примере: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Для выражения $10^{-8} : 10^{-7}$ основание $a=10$, показатель делимого $m=-8$, а показатель делителя $n=-7$.
Вычитаем показатели, уделяя внимание знакам:
$10^{-8} : 10^{-7} = 10^{-8 - (-7)} = 10^{-8+7} = 10^{-1}$.
(Значение $10^{-1}$ равно $0.1$).
Ответ: $10^{-1}$.

3. Округлить с точностью до $0,01$ число:

1) $63,2854$;

2) $0,4956$;

3) $2,5708$.

Округление числа с точностью до 0,01 означает, что в результате должно остаться две цифры после запятой (разряд сотых). Для этого нужно посмотреть на третью цифру после запятой (разряд тысячных):

• Если третья цифра после запятой 5, 6, 7, 8 или 9, то вторая цифра после запятой увеличивается на единицу, а все последующие цифры отбрасываются.
• Если третья цифра после запятой 0, 1, 2, 3 или 4, то вторая цифра после запятой остается без изменений, а все последующие цифры отбрасываются.

1) 63,2854

Рассмотрим число 63,2854. Нам нужно оставить две цифры после запятой. Смотрим на третью цифру – это 5. Согласно правилу, мы должны увеличить вторую цифру после запятой (8) на единицу.

$8 + 1 = 9$

Все последующие цифры отбрасываем. Получаем 63,29.

Математически это записывается так: $63,2854 \approx 63,29$.

Ответ: 63,29

2) 0,4956

Рассмотрим число 0,4956. Третья цифра после запятой – 5. Значит, вторую цифру (9) нужно увеличить на единицу.

$9 + 1 = 10$.

Поскольку получилось 10, мы записываем 0 на место сотых и переносим единицу в старший разряд (десятые). В разряде десятых стоит цифра 4, прибавляем к ней перенесенную единицу:

$4 + 1 = 5$.

В результате получаем 0,50. Ноль в конце важен, так как он показывает точность округления до сотых.

Математически это записывается так: $0,4956 \approx 0,50$.

Ответ: 0,50

3) 2,5708

Рассмотрим число 2,5708. Третья цифра после запятой – 0. Так как 0 меньше 5, вторую цифру после запятой (7) мы оставляем без изменений.

Все последующие цифры отбрасываем. Получаем 2,57.

Математически это записывается так: $2,5708 \approx 2,57$.

Ответ: 2,57

334. Назвать порядок числа, записанного в стандартном виде:

1) $4,863 \cdot 10^{-12}$;

2) $3,49 \cdot 10^{27}$;

3) $1,019 \cdot 10$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа. Чтобы найти порядок числа, записанного в стандартном виде, нужно определить показатель степени у множителя 10.

1)

Дано число $4,863 \cdot 10^{-12}$.
Оно уже записано в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где мантисса $a = 4,863$ (удовлетворяет условию $1 \le 4,863 < 10$), а показатель степени (порядок) $n = -12$.

Ответ: -12.

2)

Дано число $3,49 \cdot 10^{27}$.
Оно записано в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где мантисса $a = 3,49$ (удовлетворяет условию $1 \le 3,49 < 10$), а показатель степени (порядок) $n = 27$.

Ответ: 27.

3)

Дано число $1,019 \cdot 10$.
Представим 10 как степень с основанием 10: $10 = 10^1$.
Тогда число можно записать как $1,019 \cdot 10^1$.
Это стандартный вид числа $a \cdot 10^n$, где мантисса $a = 1,019$ (удовлетворяет условию $1 \le 1,019 < 10$), а показатель степени (порядок) $n = 1$.

Ответ: 1.

335. Записать число в стандартном виде и назвать его порядок:

1) $267 000 000$;

2) $3 549 000 000 000$;

3) $0,0000062$;

4) $0,00000000841$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, которое называется порядком числа.

1) 267 000 000
Чтобы записать число в стандартном виде, нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и соответствующей степени десяти. Переместим запятую (которая находится в конце числа) влево на 8 позиций, чтобы получить число 2,67. Так как мы переместили запятую влево на 8 позиций, число нужно умножить на $10^8$.
Стандартный вид: $2,67 \cdot 10^8$.
Порядок числа — это показатель степени десяти, то есть 8.
Ответ: $2,67 \cdot 10^8$, порядок 8.

2) 3 549 000 000 000
Перемещаем запятую влево на 12 позиций, чтобы получить число 3,549. Это означает, что исходное число равно $3,549 \cdot 10^{12}$.
Стандартный вид: $3,549 \cdot 10^{12}$.
Порядок числа равен 12.
Ответ: $3,549 \cdot 10^{12}$, порядок 12.

3) 0,0000062
Перемещаем запятую вправо на 6 позиций, чтобы получить число 6,2. Так как мы переместили запятую вправо, показатель степени десяти будет отрицательным.
Стандартный вид: $6,2 \cdot 10^{-6}$.
Порядок числа равен -6.
Ответ: $6,2 \cdot 10^{-6}$, порядок -6.

4) 0,000000000841
Перемещаем запятую вправо на 10 позиций, чтобы получить число 8,41. Показатель степени десяти будет равен -10.
Стандартный вид: $8,41 \cdot 10^{-10}$.
Порядок числа равен -10.
Ответ: $8,41 \cdot 10^{-10}$, порядок -10.

336. Выразить:

1) $3,8 \cdot 10^{10}$ т в килограммах;

2) $1,02 \cdot 10^{12}$ кг в граммах;

3) $6,37 \cdot 10^{9}$ кг в тоннах;

4) $5,8 \cdot 10^{13}$ г в килограммах;

5) $4,6 \cdot 10^{-5}$ кг в граммах;

6) $2,5 \cdot 10^{-7}$ т в граммах;

7) $1,83 \cdot 10^{-10}$ м в миллиметрах;

8) $9,6 \cdot 10^{-15}$ км в сантиметрах.

1) Для перевода тонн (т) в килограммы (кг) воспользуемся соотношением: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} = 10^3 \text{ кг}$.
Выполним преобразование: $3,8 \cdot 10^{10} \text{ т} = 3,8 \cdot 10^{10} \cdot 10^3 \text{ кг} = 3,8 \cdot 10^{10+3} \text{ кг} = 3,8 \cdot 10^{13} \text{ кг}$.
Ответ: $3,8 \cdot 10^{13} \text{ кг}$.

2) Для перевода килограммов (кг) в граммы (г) воспользуемся соотношением: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г} = 10^3 \text{ г}$.
Выполним преобразование: $1,02 \cdot 10^{12} \text{ кг} = 1,02 \cdot 10^{12} \cdot 10^3 \text{ г} = 1,02 \cdot 10^{12+3} \text{ г} = 1,02 \cdot 10^{15} \text{ г}$.
Ответ: $1,02 \cdot 10^{15} \text{ г}$.

3) Для перевода килограммов (кг) в тонны (т) воспользуемся соотношением: $1 \text{ кг} = 0,001 \text{ т} = 10^{-3} \text{ т}$.
Выполним преобразование: $6,37 \cdot 10^9 \text{ кг} = 6,37 \cdot 10^9 \cdot 10^{-3} \text{ т} = 6,37 \cdot 10^{9-3} \text{ т} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ т}$.
Ответ: $6,37 \cdot 10^6 \text{ т}$.

4) Для перевода граммов (г) в килограммы (кг) воспользуемся соотношением: $1 \text{ г} = 0,001 \text{ кг} = 10^{-3} \text{ кг}$.
Выполним преобразование: $5,8 \cdot 10^{13} \text{ г} = 5,8 \cdot 10^{13} \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 5,8 \cdot 10^{13-3} \text{ кг} = 5,8 \cdot 10^{10} \text{ кг}$.
Ответ: $5,8 \cdot 10^{10} \text{ кг}$.

5) Для перевода килограммов (кг) в граммы (г) воспользуемся соотношением: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г} = 10^3 \text{ г}$.
Выполним преобразование: $4,6 \cdot 10^{-5} \text{ кг} = 4,6 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \text{ г} = 4,6 \cdot 10^{-5+3} \text{ г} = 4,6 \cdot 10^{-2} \text{ г}$.
Ответ: $4,6 \cdot 10^{-2} \text{ г}$ (или $0,046 \text{ г}$).

6) Для перевода тонн (т) в граммы (г) воспользуемся соотношением: $1 \text{ т} = 1 \ 000 \ 000 \text{ г} = 10^6 \text{ г}$.
Выполним преобразование: $2,5 \cdot 10^{-7} \text{ т} = 2,5 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \text{ г} = 2,5 \cdot 10^{-7+6} \text{ г} = 2,5 \cdot 10^{-1} \text{ г}$.
Ответ: $0,25 \text{ г}$.

7) Для перевода метров (м) в миллиметры (мм) воспользуемся соотношением: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} = 10^3 \text{ мм}$.
Выполним преобразование: $1,83 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 1,83 \cdot 10^{-10} \cdot 10^3 \text{ мм} = 1,83 \cdot 10^{-10+3} \text{ мм} = 1,83 \cdot 10^{-7} \text{ мм}$.
Ответ: $1,83 \cdot 10^{-7} \text{ мм}$.

8) Для перевода километров (км) в сантиметры (см) воспользуемся соотношением: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 100 \ 000 \text{ см} = 10^5 \text{ см}$.
Выполним преобразование: $9,6 \cdot 10^{-15} \text{ км} = 9,6 \cdot 10^{-15} \cdot 10^5 \text{ см} = 9,6 \cdot 10^{-15+5} \text{ см} = 9,6 \cdot 10^{-10} \text{ см}$.
Ответ: $9,6 \cdot 10^{-10} \text{ см}$.

337. Определить во сколько раз число $x$ больше или меньше числа $y$, если разность порядков этих чисел равна:

3

6

-5

-9

Для решения этой задачи необходимо понимать, что такое "порядок числа". Порядок числа — это показатель степени в его представлении в стандартном виде (научной нотации). Любое положительное число можно записать в виде $z = a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ — мантисса числа, а $n$ — целое число, называемое порядком.

Пусть числа x и y представлены в стандартном виде:

$x = a \cdot 10^{n_x}$

$y = b \cdot 10^{n_y}$

Здесь $n_x$ — порядок числа x, а $n_y$ — порядок числа y. По условию, нам дана разность порядков $n_x - n_y$.

Чтобы определить, во сколько раз число x больше или меньше числа y, нужно найти их отношение $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{a \cdot 10^{n_x}}{b \cdot 10^{n_y}} = \frac{a}{b} \cdot 10^{n_x - n_y}$

Так как мантиссы $a$ и $b$ находятся в диапазоне от 1 до 10, их отношение $\frac{a}{b}$ находится в пределах от $1/10 = 0.1$ до $10/1 = 10$. В таких задачах, как правило, интересуются порядком величины отношения, который определяется множителем $10^{n_x - n_y}$.

Если разность порядков $n_x - n_y$ положительна, то x больше y. Если разность отрицательна, то x меньше y.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

3

Разность порядков равна 3, то есть $n_x - n_y = 3$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^3$.

Поскольку показатель степени 3 — положительное число, x больше y. Отношение их порядков показывает, что x больше y примерно в $10^3 = 1000$ раз.

Ответ: Число x больше числа y примерно в 1000 раз.

6

Разность порядков равна 6, то есть $n_x - n_y = 6$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^6$.

Поскольку показатель степени 6 — положительное число, x больше y. Отношение их порядков показывает, что x больше y примерно в $10^6 = 1\,000\,000$ раз.

Ответ: Число x больше числа y примерно в 1 000 000 раз.

-5

Разность порядков равна -5, то есть $n_x - n_y = -5$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^{-5}$.

Поскольку показатель степени -5 — отрицательное число, x меньше y. Чтобы определить, во сколько раз x меньше, можно рассмотреть обратное отношение:

$\frac{y}{x} = \frac{b}{a} \cdot 10^{-(-5)} = \frac{b}{a} \cdot 10^5$.

Это означает, что y больше x примерно в $10^5 = 100\,000$ раз, или, что то же самое, x меньше y примерно в 100 000 раз.

Ответ: Число x меньше числа y примерно в 100 000 раз.

-9

Разность порядков равна -9, то есть $n_x - n_y = -9$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^{-9}$.

Поскольку показатель степени -9 — отрицательное число, x меньше y. Рассмотрим обратное отношение:

$\frac{y}{x} = \frac{b}{a} \cdot 10^{-(-9)} = \frac{b}{a} \cdot 10^9$.

Это означает, что y больше x примерно в $10^9 = 1\,000\,000\,000$ раз, следовательно, x меньше y примерно в 1 000 000 000 раз.

Ответ: Число x меньше числа y примерно в 1 000 000 000 раз.

338. Назвать порядок числа $c$, если:

1) $1000 \le c < 10000$;

2) $100000 \le c < 1000000$;

3) $0.01 \le c < 0.1$;

4) $0.0001 \le c < 0.001$.

Порядком положительного числа называется показатель степени $n$ в его стандартной записи вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Чтобы найти порядок числа $c$, нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $10^n \le c < 10^{n+1}$.

1) Дано неравенство $1000 \le c < 10000$.

Представим границы неравенства в виде степеней числа 10:

$1000 = 10^3$

$10000 = 10^4$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $10^3 \le c < 10^4$.

Это означает, что любое число $c$ из этого промежутка в стандартном виде записывается как $a \cdot 10^3$, где $1 \le a < 10$. Например, $c = 7850 = 7,85 \cdot 10^3$.

Следовательно, показатель степени $n$, то есть порядок числа, равен 3.

Ответ: 3.

2) Дано неравенство $100000 \le c < 1000000$.

Представим границы неравенства в виде степеней числа 10:

$100000 = 10^5$

$1000000 = 10^6$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $10^5 \le c < 10^6$.

Это означает, что любое число $c$ из этого промежутка в стандартном виде записывается как $a \cdot 10^5$, где $1 \le a < 10$. Например, $c = 123456 = 1,23456 \cdot 10^5$.

Следовательно, порядок числа $c$ равен 5.

Ответ: 5.

3) Дано неравенство $0,01 \le c < 0,1$.

Представим границы неравенства в виде степеней числа 10:

$0,01 = 1/100 = 10^{-2}$

$0,1 = 1/10 = 10^{-1}$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $10^{-2} \le c < 10^{-1}$.

Это означает, что любое число $c$ из этого промежутка в стандартном виде записывается как $a \cdot 10^{-2}$, где $1 \le a < 10$. Например, $c = 0,045 = 4,5 \cdot 10^{-2}$.

Следовательно, порядок числа $c$ равен -2.

Ответ: -2.

4) Дано неравенство $0,0001 \le c < 0,001$.

Представим границы неравенства в виде степеней числа 10:

$0,0001 = 1/10000 = 10^{-4}$

$0,001 = 1/1000 = 10^{-3}$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $10^{-4} \le c < 10^{-3}$.

Это означает, что любое число $c$ из этого промежутка в стандартном виде записывается как $a \cdot 10^{-4}$, где $1 \le a < 10$. Например, $c = 0,000812 = 8,12 \cdot 10^{-4}$.

Следовательно, порядок числа $c$ равен -4.

Ответ: -4.

339. Выполнить умножение:

1) $(2,7 \cdot 10^6) \cdot (3,2 \cdot 10^{-10});$

2) $(1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4,8 \cdot 10^{-3});$

3) $(5,6 \cdot 10^{-8}) \cdot (3,7 \cdot 10^{-5});$

4) $(6,8 \cdot 10^{-13}) \cdot (3,7 \cdot 10^6).$

1) $(2,7 \cdot 10^6) \cdot (3,2 \cdot 10^{-10})$

Для выполнения умножения чисел, записанных в стандартном виде, необходимо отдельно перемножить числовые множители и отдельно степени с основанием 10. Для этого сгруппируем их:

$(2,7 \cdot 3,2) \cdot (10^6 \cdot 10^{-10})$

Вычислим произведение числовых множителей:

$2,7 \cdot 3,2 = 8,64$

Вычислим произведение степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$10^6 \cdot 10^{-10} = 10^{6 + (-10)} = 10^{-4}$

Объединим полученные результаты:

$8,64 \cdot 10^{-4}$

Ответ: $8,64 \cdot 10^{-4}$

2) $(1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4,8 \cdot 10^{-3})$

Сгруппируем числовые множители и степени:

$(1,6 \cdot 4,8) \cdot (10^{-5} \cdot 10^{-3})$

Перемножим числа:

$1,6 \cdot 4,8 = 7,68$

Перемножим степени:

$10^{-5} \cdot 10^{-3} = 10^{-5 + (-3)} = 10^{-8}$

Объединим результаты:

$7,68 \cdot 10^{-8}$

Ответ: $7,68 \cdot 10^{-8}$

3) $(5,6 \cdot 10^{-8}) \cdot (3,7 \cdot 10^{-5})$

Сгруппируем множители:

$(5,6 \cdot 3,7) \cdot (10^{-8} \cdot 10^{-5})$

Вычислим произведение чисел:

$5,6 \cdot 3,7 = 20,72$

Вычислим произведение степеней:

$10^{-8} \cdot 10^{-5} = 10^{-8 + (-5)} = 10^{-13}$

Промежуточный результат: $20,72 \cdot 10^{-13}$.

Чтобы привести ответ к стандартному виду, необходимо, чтобы первый множитель был в диапазоне $[1; 10)$. Представим $20,72$ в стандартном виде: $20,72 = 2,072 \cdot 10^1$.

Подставим это в наше выражение:

$(2,072 \cdot 10^1) \cdot 10^{-13} = 2,072 \cdot 10^{1 + (-13)} = 2,072 \cdot 10^{-12}$

Ответ: $2,072 \cdot 10^{-12}$

4) $(6,8 \cdot 10^{-13}) \cdot (3,7 \cdot 10^6)$

Сгруппируем множители:

$(6,8 \cdot 3,7) \cdot (10^{-13} \cdot 10^6)$

Вычислим произведение чисел:

$6,8 \cdot 3,7 = 25,16$

Вычислим произведение степеней:

$10^{-13} \cdot 10^6 = 10^{-13 + 6} = 10^{-7}$

Промежуточный результат: $25,16 \cdot 10^{-7}$.

Приведем ответ к стандартному виду. Представим $25,16$ в стандартном виде: $25,16 = 2,516 \cdot 10^1$.

Подставим в выражение и вычислим окончательный результат:

$(2,516 \cdot 10^1) \cdot 10^{-7} = 2,516 \cdot 10^{1 + (-7)} = 2,516 \cdot 10^{-6}$

Ответ: $2,516 \cdot 10^{-6}$

340. Используя калькулятор, выполнить деление:

1) $(8,3 \cdot 10^{-6}) : (3,7 \cdot 10^{-5})$;

2) $(9,2 \cdot 10^{4}) : (2,7 \cdot 10^{-8})$;

3) $(1,9 \cdot 10^{-20}) : (6,4 \cdot 10^{-15})$;

4) $(4,6 \cdot 10^{-30}) : (8,2 \cdot 10^{-40})$.

1) $(8,3 \cdot 10^{-6}) : (3,7 \cdot 10^{-5})$

Для выполнения деления представим его в виде дроби и сгруппируем отдельно мантиссы (числа перед степенью десяти) и степени десяти:

$\frac{8,3 \cdot 10^{-6}}{3,7 \cdot 10^{-5}} = \frac{8,3}{3,7} \cdot \frac{10^{-6}}{10^{-5}}$

С помощью калькулятора разделим мантиссы. Округлим результат до четырех знаков после запятой:

$\frac{8,3}{3,7} \approx 2,2432$

Разделим степени, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m / a^n = a^{m-n}$:

$\frac{10^{-6}}{10^{-5}} = 10^{-6 - (-5)} = 10^{-6+5} = 10^{-1}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$2,2432 \cdot 10^{-1} = 0,22432$

Ответ: $\approx 0,22432$

2) $(9,2 \cdot 10^{4}) : (2,7 \cdot 10^{-8})$

Представим деление в виде дроби и сгруппируем мантиссы и степени:

$\frac{9,2 \cdot 10^{4}}{2,7 \cdot 10^{-8}} = \frac{9,2}{2,7} \cdot \frac{10^{4}}{10^{-8}}$

Разделим мантиссы на калькуляторе. Округлим результат до трех знаков после запятой:

$\frac{9,2}{2,7} \approx 3,407$

Разделим степени:

$\frac{10^{4}}{10^{-8}} = 10^{4 - (-8)} = 10^{4+8} = 10^{12}$

Объединим результаты:

$3,407 \cdot 10^{12}$

Ответ: $\approx 3,407 \cdot 10^{12}$

3) $(1,9 \cdot 10^{-20}) : (6,4 \cdot 10^{-15})$

Представим деление в виде дроби и сгруппируем мантиссы и степени:

$\frac{1,9 \cdot 10^{-20}}{6,4 \cdot 10^{-15}} = \frac{1,9}{6,4} \cdot \frac{10^{-20}}{10^{-15}}$

Разделим мантиссы на калькуляторе. В данном случае деление дает точное конечное десятичное значение:

$\frac{1,9}{6,4} = 0,296875$

Разделим степени:

$\frac{10^{-20}}{10^{-15}} = 10^{-20 - (-15)} = 10^{-20+15} = 10^{-5}$

Перемножим результаты:

$0,296875 \cdot 10^{-5}$

Для приведения к стандартному виду научной записи, представим мантиссу как число в диапазоне от 1 до 10:

$0,296875 = 2,96875 \cdot 10^{-1}$

Тогда итоговый результат будет:

$(2,96875 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5} = 2,96875 \cdot 10^{-1-5} = 2,96875 \cdot 10^{-6}$

Ответ: $2,96875 \cdot 10^{-6}$

4) $(4,6 \cdot 10^{-30}) : (8,2 \cdot 10^{-40})$

Представим деление в виде дроби и сгруппируем мантиссы и степени:

$\frac{4,6 \cdot 10^{-30}}{8,2 \cdot 10^{-40}} = \frac{4,6}{8,2} \cdot \frac{10^{-30}}{10^{-40}}$

Разделим мантиссы на калькуляторе. Округлим результат до четырех значащих цифр:

$\frac{4,6}{8,2} \approx 0,5610$

Разделим степени:

$\frac{10^{-30}}{10^{-40}} = 10^{-30 - (-40)} = 10^{-30+40} = 10^{10}$

Перемножим полученные результаты:

$\approx 0,5610 \cdot 10^{10}$

Приведем результат к стандартному виду научной записи:

$0,5610 = 5,610 \cdot 10^{-1}$

Тогда итоговый результат будет:

$(5,610 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{10} = 5,610 \cdot 10^{-1+10} = 5,610 \cdot 10^{9}$

Ответ: $\approx 5,610 \cdot 10^{9}$

341. Известно среднее расстояние от Солнца до планеты:

1) Венера – $1,08 \cdot 10^8$ км;

2) Земля – $1,5 \cdot 10^8$ км;

3) Марс – $2,28 \cdot 10^8$ км;

4) Нептун – $4,5 \cdot 10^9$ км.

Скорость света равна $3 \cdot 10^5$ км/с. Определить, за какое время свет от Солнца доходит до каждой из этих планет.

Чтобы определить, за какое время свет от Солнца доходит до каждой из планет, мы используем формулу $t = \frac{S}{v}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние до планеты, а $v$ — скорость света, равная $c = 3 \cdot 10^5$ км/с.

1) Венеры

Среднее расстояние от Солнца до Венеры $S = 1,08 \cdot 10^8$ км.

Время, за которое свет дойдет до Венеры, рассчитывается следующим образом:

$t = \frac{S}{c} = \frac{1,08 \cdot 10^8 \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = 0,36 \cdot 10^{8-5} \text{ с} = 0,36 \cdot 10^3 \text{ с} = 360 \text{ с}$.

Переведем секунды в минуты: $360 \text{ с} \div 60 = 6 \text{ минут}$.

Ответ: 360 секунд (6 минут).

2) Земли

Среднее расстояние от Солнца до Земли $S = 1,5 \cdot 10^8$ км.

Время, за которое свет дойдет до Земли, рассчитывается следующим образом:

$t = \frac{S}{c} = \frac{1,5 \cdot 10^8 \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = 0,5 \cdot 10^{8-5} \text{ с} = 0,5 \cdot 10^3 \text{ с} = 500 \text{ с}$.

Переведем секунды в минуты и секунды: $500 \text{ с} = 8 \text{ минут } 20 \text{ секунд}$.

Ответ: 500 секунд (8 минут 20 секунд).

3) Марса

Среднее расстояние от Солнца до Марса $S = 2,28 \cdot 10^8$ км.

Время, за которое свет дойдет до Марса, рассчитывается следующим образом:

$t = \frac{S}{c} = \frac{2,28 \cdot 10^8 \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = 0,76 \cdot 10^{8-5} \text{ с} = 0,76 \cdot 10^3 \text{ с} = 760 \text{ с}$.

Переведем секунды в минуты и секунды: $760 \text{ с} = 12 \text{ минут } 40 \text{ секунд}$.

Ответ: 760 секунд (12 минут 40 секунд).

4) Нептуна

Среднее расстояние от Солнца до Нептуна $S = 4,5 \cdot 10^9$ км.

Время, за которое свет дойдет до Нептуна, рассчитывается следующим образом:

$t = \frac{S}{c} = \frac{4,5 \cdot 10^9 \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = 1,5 \cdot 10^{9-5} \text{ с} = 1,5 \cdot 10^4 \text{ с} = 15000 \text{ с}$.

Переведем секунды в часы и минуты: $15000 \text{ с} \div 60 = 250 \text{ минут}$. $250 \text{ минут} = 4 \text{ часа } 10 \text{ минут}$.

Ответ: 15000 секунд (4 часа 10 минут).