Номер 337, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 18. Стандартный вид числа. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 337, страница 124.

Условие.

337. Определить во сколько раз число $x$ больше или меньше числа $y$, если разность порядков этих чисел равна:

3

6

-5

-9

Решение 1.

Решение 4.

Для решения этой задачи необходимо понимать, что такое "порядок числа". Порядок числа — это показатель степени в его представлении в стандартном виде (научной нотации). Любое положительное число можно записать в виде $z = a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ — мантисса числа, а $n$ — целое число, называемое порядком.

Пусть числа x и y представлены в стандартном виде:

$x = a \cdot 10^{n_x}$

$y = b \cdot 10^{n_y}$

Здесь $n_x$ — порядок числа x, а $n_y$ — порядок числа y. По условию, нам дана разность порядков $n_x - n_y$.

Чтобы определить, во сколько раз число x больше или меньше числа y, нужно найти их отношение $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{a \cdot 10^{n_x}}{b \cdot 10^{n_y}} = \frac{a}{b} \cdot 10^{n_x - n_y}$

Так как мантиссы $a$ и $b$ находятся в диапазоне от 1 до 10, их отношение $\frac{a}{b}$ находится в пределах от $1/10 = 0.1$ до $10/1 = 10$. В таких задачах, как правило, интересуются порядком величины отношения, который определяется множителем $10^{n_x - n_y}$.

Если разность порядков $n_x - n_y$ положительна, то x больше y. Если разность отрицательна, то x меньше y.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

3

Разность порядков равна 3, то есть $n_x - n_y = 3$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^3$.

Поскольку показатель степени 3 — положительное число, x больше y. Отношение их порядков показывает, что x больше y примерно в $10^3 = 1000$ раз.

Ответ: Число x больше числа y примерно в 1000 раз.

6

Разность порядков равна 6, то есть $n_x - n_y = 6$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^6$.

Поскольку показатель степени 6 — положительное число, x больше y. Отношение их порядков показывает, что x больше y примерно в $10^6 = 1\,000\,000$ раз.

Ответ: Число x больше числа y примерно в 1 000 000 раз.

-5

Разность порядков равна -5, то есть $n_x - n_y = -5$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^{-5}$.

Поскольку показатель степени -5 — отрицательное число, x меньше y. Чтобы определить, во сколько раз x меньше, можно рассмотреть обратное отношение:

$\frac{y}{x} = \frac{b}{a} \cdot 10^{-(-5)} = \frac{b}{a} \cdot 10^5$.

Это означает, что y больше x примерно в $10^5 = 100\,000$ раз, или, что то же самое, x меньше y примерно в 100 000 раз.

Ответ: Число x меньше числа y примерно в 100 000 раз.

-9

Разность порядков равна -9, то есть $n_x - n_y = -9$.

Отношение чисел равно: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^{-9}$.

Поскольку показатель степени -9 — отрицательное число, x меньше y. Рассмотрим обратное отношение:

$\frac{y}{x} = \frac{b}{a} \cdot 10^{-(-9)} = \frac{b}{a} \cdot 10^9$.

Это означает, что y больше x примерно в $10^9 = 1\,000\,000\,000$ раз, следовательно, x меньше y примерно в 1 000 000 000 раз.

Ответ: Число x меньше числа y примерно в 1 000 000 000 раз.