Страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать определение степени $a^{-n}$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число.

1.

Определение степени с отрицательным целым показателем вводится как расширение понятия степени с натуральным показателем. Цель такого расширения — сохранить основные свойства степеней, в частности, правило деления степеней с одинаковым основанием.

Рассмотрим свойство деления степеней: $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $, где $a \neq 0$, а $m$ и $k$ — натуральные числа.

Пусть мы хотим, чтобы эта формула оставалась верной и для случаев, когда $m < k$. Возьмем, к примеру, $m=1$ и $k=n$, где $n$ — любое натуральное число. По определению, $a^1 = a$. Тогда, применяя правило деления степеней, мы получим: $ \frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n} $

Поскольку для любого $a \neq 0$ принято, что $a^0 = 1$, левая часть равенства превращается в: $ \frac{1}{a^n} $

Чтобы свойство степеней сохранялось, мы должны приравнять полученные выражения: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

Это и есть определение степени с отрицательным целым показателем.
Условие $a \neq 0$ является обязательным, так как в противном случае знаменатель $a^n$ был бы равен нулю, а деление на ноль в математике не определено.
Условие, что $n$ — натуральное число (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), означает, что показатель степени ($-n$) является целым отрицательным числом.

Ответ: Степенью числа $a$ с отрицательным целым показателем $-n$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число, называется число, обратное степени того же числа $a$ с показателем $n$. Формула определения выглядит так: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

2. Дать определение степени $a^0$, если $a \neq 0$.

По определению, степенью любого числа a, не равного нулю, с нулевым показателем является единица.

Формульно это записывается так:

$a^0 = 1$ (при $a \neq 0$)

Это определение является логическим следствием сохранения свойств степеней при переходе от натуральных показателей к целым. Чтобы показать это, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: для любого $a \neq 0$ и натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Рассмотрим, что произойдет, если мы применим это свойство к случаю, когда показатели равны, то есть $m = n$.

С одной стороны, выражение $\frac{a^n}{a^n}$ представляет собой деление ненулевого числа на само себя. Результат такой операции всегда равен 1.

$\frac{a^n}{a^n} = 1$

С другой стороны, если формально применить правило вычитания показателей, мы получим:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

Чтобы математические законы были последовательными и непротиворечивыми, результаты обоих вычислений должны быть равны. Приравнивая их, мы приходим к единственному возможному выводу:

$a^0 = 1$

Важно отметить, что условие $a \neq 0$ является обязательным. Если бы мы попытались определить $0^0$ таким же образом, мы бы столкнулись с операцией деления $\frac{0}{0}$, которая в математике не определена. Поэтому в элементарной алгебре выражение $0^0$ считается неопределенностью.

Ответ: Степенью любого числа a, не равного нулю, с нулевым показателем является число 1. Формульно: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

3. Перечислить свойства степени с целым показателем.

Свойства степени с целым показателем справедливы для любых целых чисел $m$ и $n$ и для любых чисел $a$ и $b$, не равных нулю ($a \neq 0, b \neq 0$).

1. Степень с нулевым показателем

Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна единице.

Ответ: $a^0 = 1$

2. Степень с отрицательным показателем

Степень ненулевого числа с целым отрицательным показателем $(-n)$ равна числу, обратному степени того же числа с противоположным показателем $(n)$.

Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

3. Произведение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

4. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

5. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели степеней перемножают.

Ответ: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

6. Степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и полученные результаты перемножить.

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

7. Степень частного (дроби)

Чтобы возвести частное в степень, нужно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй.

Ответ: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

1. Представить в виде степени ($b \neq 0$):

1) $a^2 \cdot a^7$;

2) $b^{10} : b^4$;

3) $(c^5)^2$;

4) $a^6b^6$;

5) $\frac{a^8}{b^8}$.

1) Для умножения степеней с одинаковым основанием необходимо сложить их показатели, а основание оставить без изменений. Это свойство степеней выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это правило к данному выражению: $a^2 \cdot a^7 = a^{2+7} = a^9$.
Ответ: $a^9$

2) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним. Это свойство описывается формулой $a^m : a^n = a^{m-n}$. Применим это правило: $b^{10} : b^4 = b^{10-4} = b^6$.
Ответ: $b^6$

3) При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. Формула для этого свойства: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим правило к нашему случаю: $(c^5)^2 = c^{5 \cdot 2} = c^{10}$.
Ответ: $c^{10}$

4) Для умножения степеней с одинаковыми показателями, но разными основаниями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить без изменений. Это соответствует формуле $a^n \cdot b^n = (ab)^n$. Применяя это правило, получаем: $a^6b^6 = (ab)^6$.
Ответ: $(ab)^6$

5) При делении степеней с одинаковыми показателями, но разными основаниями, нужно разделить основания, а показатель степени оставить без изменений. Это свойство выражается формулой $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$. В данном примере (с учетом условия $b \neq 0$): $\frac{a^8}{b^8} = \left(\frac{a}{b}\right)^8$.
Ответ: $\left(\frac{a}{b}\right)^8$

2. Вычислить:

1) $\frac{2^5 \cdot 2^7}{2^8}$;

2) $\frac{(3^2 \cdot 5)^4}{3^6 \cdot 5^5}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^5 \cdot 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$
Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{12}}{2^8}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^{12}}{2^8} = 2^{12-8} = 2^4$
Вычислим полученное значение:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Ответ: 16

2) Для решения этого примера также применим свойства степеней. Сначала раскроем скобки в числителе. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$(3^2 \cdot 5)^4 = (3^2)^4 \cdot 5^4$
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$
Таким образом, числитель равен $3^8 \cdot 5^4$.
Теперь все выражение выглядит так: $\frac{3^8 \cdot 5^4}{3^6 \cdot 5^5}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^8}{3^6} \cdot \frac{5^4}{5^5} = 3^{8-6} \cdot 5^{4-5} = 3^2 \cdot 5^{-1}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^2 \cdot 5^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$
Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{9}{5} = 1.8$.
Ответ: $\frac{9}{5}$

314. Вычислить:

1) $2^3 + (-3)^3 - (-2)^2 + (-1)^5;$

2) $(-7)^2 - (-4)^3 - 3^4;$

3) $13 \cdot 2^3 - 9 \cdot 2^3 + 2^3;$

4) $6 (-2)^3 - 5 (-2)^3 - (-2)^3.$

1) $2^3 + (-3)^3 - (-2)^2 + (-1)^5$

Для решения данного примера необходимо вычислить значение каждого члена выражения, а затем выполнить сложение и вычитание.

Вычисляем степени:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$

$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

$(-1)^5 = -1$

Теперь подставляем полученные значения в исходное выражение:

$8 + (-27) - 4 + (-1) = 8 - 27 - 4 - 1$

Выполняем действия по порядку:

$8 - 27 = -19$

$-19 - 4 = -23$

$-23 - 1 = -24$

Ответ: $-24$.

2) $(-7)^2 - (-4)^3 - 3^4$

Сначала вычислим каждую степень в выражении:

$(-7)^2 = 49$ (отрицательное число в четной степени становится положительным).

$(-4)^3 = -64$ (отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным).

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Подставим вычисленные значения в выражение:

$49 - (-64) - 81$

Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению:

$49 + 64 - 81 = 113 - 81 = 32$

Ответ: $32$.

3) $13 \cdot 2^3 - 9 \cdot 2^3 + 2^3$

В этом выражении все члены содержат общий множитель $2^3$. Можно вынести его за скобки, чтобы упростить вычисления. Заметим, что $2^3$ это то же самое, что и $1 \cdot 2^3$.

$(13 - 9 + 1) \cdot 2^3$

Вычислим значение в скобках:

$13 - 9 + 1 = 4 + 1 = 5$

Вычислим значение степени:

$2^3 = 8$

Теперь перемножим результаты:

$5 \cdot 8 = 40$

Ответ: $40$.

4) $6(-2)^3 - 5(-2)^3 - (-2)^3$

Аналогично предыдущему примеру, вынесем общий множитель $(-2)^3$ за скобки. Последний член $-(-2)^3$ равен $-1 \cdot (-2)^3$.

$(6 - 5 - 1) \cdot (-2)^3$

Вычислим значение выражения в скобках:

$6 - 5 - 1 = 1 - 1 = 0$

Поскольку один из множителей равен нулю, всё произведение равно нулю:

$0 \cdot (-2)^3 = 0 \cdot (-8) = 0$

Ответ: $0$.

Представить выражение в виде степени с натуральным показателем (315–316):

315. 1) $\frac{7^2 \cdot 7^{15}}{7^{13}}$; 2) $\frac{5^3 \cdot 5^{10} \cdot 5^7}{5^4 \cdot 5^{15}}$; 3) $\frac{3^{22} \cdot 3^{11}}{3 \cdot 3^{20} \cdot 3^3}$; 4) $\frac{13^{28} \cdot 13^{16} \cdot 13^2}{13^{30} \cdot 13^5 \cdot 13}$.

1)

Дано выражение $ \frac{7^2 \cdot 7^{15}}{7^{13}} $.
Для решения используем свойства степеней:
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:
$7^2 \cdot 7^{15} = 7^{2+15} = 7^{17}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{7^{17}}{7^{13}} $.
Выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:
$\frac{7^{17}}{7^{13}} = 7^{17-13} = 7^4$.
Показатель 4 является натуральным числом.
Ответ: $7^4$.

2)

Дано выражение $ \frac{5^3 \cdot 5^{10}}{5^4 \cdot 5^{15}} \cdot 5^7 $.
Согласно правилам математических операций, это выражение можно представить в виде одной дроби, переместив множитель $5^7$ в числитель:
$ \frac{5^3 \cdot 5^{10} \cdot 5^7}{5^4 \cdot 5^{15}} $.
Теперь упростим числитель, сложив показатели степеней:
$5^3 \cdot 5^{10} \cdot 5^7 = 5^{3+10+7} = 5^{20}$.
Далее упростим знаменатель, также сложив показатели степеней:
$5^4 \cdot 5^{15} = 5^{4+15} = 5^{19}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{5^{20}}{5^{19}} $.
Выполним деление, вычитая показатели:
$\frac{5^{20}}{5^{19}} = 5^{20-19} = 5^1$.
Показатель 1 является натуральным числом.
Ответ: $5^1$.

3)

Дано выражение $ \frac{3^{22} \cdot 3^{11}}{3 \cdot 3^{20} \cdot 3^3} $.
Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:
$3^{22} \cdot 3^{11} = 3^{22+11} = 3^{33}$.
Теперь упростим знаменатель. Следует помнить, что $3$ можно представить как $3^1$:
$3^1 \cdot 3^{20} \cdot 3^3 = 3^{1+20+3} = 3^{24}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{3^{33}}{3^{24}} $.
Выполним деление:
$\frac{3^{33}}{3^{24}} = 3^{33-24} = 3^9$.
Показатель 9 является натуральным числом.
Ответ: $3^9$.

4)

Дано выражение $ \frac{13^{28} \cdot 13^{16} \cdot 13^2}{13^{30} \cdot 13^5 \cdot 13} $.
Упростим числитель, сложив показатели степеней:
$13^{28} \cdot 13^{16} \cdot 13^2 = 13^{28+16+2} = 13^{46}$.
Упростим знаменатель, помня, что $13$ это $13^1$:
$13^{30} \cdot 13^5 \cdot 13^1 = 13^{30+5+1} = 13^{36}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{13^{46}}{13^{36}} $.
Выполним деление:
$\frac{13^{46}}{13^{36}} = 13^{46-36} = 13^{10}$.
Показатель 10 является натуральным числом.
Ответ: $13^{10}$.

316. 1) $\frac{a^2 a^8 b^3}{a^9 b^2}$;

2) $\frac{c^3 d^5 c^9}{c^{10} d^7}$;

3) $\frac{x^{18} y^{15}}{x^4 y^7 x^6}$;

4) $\frac{x^9 y^3 x^{10} y^8}{x y^6 x^{10} y}$;

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^2a^8b^3}{a^9b^2}$, сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В числителе перемножим степени с основанием $a$: $a^2 \cdot a^8 = a^{2+8} = a^{10}$.

Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{a^{10}b^3}{a^9b^2}$.

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для каждой переменной.

Для основания $a$: $\frac{a^{10}}{a^9} = a^{10-9} = a^1 = a$.

Для основания $b$: $\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b$.

Результатом является произведение полученных выражений: $a \cdot b$.

Ответ: $ab$

2) Упростим выражение $\frac{c^3d^5c^9}{c^{10}d^7}$.

Сначала сгруппируем множители с одинаковыми основаниями в числителе: $c^3 \cdot c^9 \cdot d^5 = c^{3+9} \cdot d^5 = c^{12}d^5$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{c^{12}d^5}{c^{10}d^7}$.

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Для основания $c$: $\frac{c^{12}}{c^{10}} = c^{12-10} = c^2$.

Для основания $d$: $\frac{d^5}{d^7} = d^{5-7} = d^{-2}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $d^{-2} = \frac{1}{d^2}$.

Объединяем результаты: $c^2 \cdot \frac{1}{d^2} = \frac{c^2}{d^2}$.

Ответ: $\frac{c^2}{d^2}$

3) Упростим выражение $\frac{x^{18}y^{15}}{x^4y^7x^6}$.

Сначала упростим знаменатель, перемножив степени с основанием $x$: $x^4 \cdot x^6 = x^{4+6} = x^{10}$.

Знаменатель становится $x^{10}y^7$.

Выражение принимает вид: $\frac{x^{18}y^{15}}{x^{10}y^7}$.

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями.

Для основания $x$: $\frac{x^{18}}{x^{10}} = x^{18-10} = x^8$.

Для основания $y$: $\frac{y^{15}}{y^7} = y^{15-7} = y^8$.

Перемножим результаты: $x^8y^8$.

Ответ: $x^8y^8$

4) Упростим выражение $\frac{x^9y^3x^{10}y^8}{xy^6x^{10}y}$.

Сначала упростим числитель. Сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

Для $x$: $x^9 \cdot x^{10} = x^{9+10} = x^{19}$.

Для $y$: $y^3 \cdot y^8 = y^{3+8} = y^{11}$.

Числитель равен $x^{19}y^{11}$.

Теперь упростим знаменатель. Помним, что переменная без показателя степени имеет показатель 1 ($x = x^1$ и $y = y^1$).

Для $x$: $x \cdot x^{10} = x^{1+10} = x^{11}$.

Для $y$: $y^6 \cdot y = y^{6+1} = y^7$.

Знаменатель равен $x^{11}y^7$.

Теперь у нас есть дробь: $\frac{x^{19}y^{11}}{x^{11}y^7}$.

Разделим степени с одинаковыми основаниями:

Для $x$: $\frac{x^{19}}{x^{11}} = x^{19-11} = x^8$.

Для $y$: $\frac{y^{11}}{y^7} = y^{11-7} = y^4$.

Итоговый результат: $x^8y^4$.

Ответ: $x^8y^4$

317. (Устно.) Вычислить:

1) $1^{-5}$;

2) $4^{-3}$;

3) $(-10)^0$;

4) $(-5)^{-2}$;

5) $(\frac{1}{2})^{-4}$;

6) $(\frac{3}{7})^{-1}$.

1) Для вычисления $1^{-5}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Единица в любой степени равна единице, поэтому $1^5 = 1$.
$1^{-5} = \frac{1}{1^5} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Для вычисления $4^{-3}$ используем то же свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$.
Вычисляем знаменатель: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Следовательно, $4^{-3} = \frac{1}{64}$.
Ответ: $\frac{1}{64}$.

3) Для вычисления $(-10)^0$ применим свойство степени с нулевым показателем: $a^0 = 1$ для любого ненулевого числа $a$.
Так как основание степени $-10$ не равно нулю, то $(-10)^0 = 1$.
Ответ: $1$.

4) Для вычисления $(-5)^{-2}$ используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2}$.
Вычисляем знаменатель: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$. Так как показатель степени четный, результат положителен.
Следовательно, $(-5)^{-2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

5) Для вычисления $(\frac{1}{2})^{-4}$ воспользуемся свойством степени дроби с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4$.
Вычисляем результат: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: $16$.

6) Для вычисления $(\frac{3}{7})^{-1}$ используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{3}{7})^{-1} = (\frac{7}{3})^1$.
Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $(\frac{7}{3})^1 = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

318. Записать в виде степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{1}{4^5}$;

2) $\frac{1}{21^3}$;

3) $\frac{1}{x^7}$;

4) $\frac{1}{a^9}$.

Чтобы записать дробное выражение в виде степени с отрицательным показателем, используется основное свойство степени с отрицательным целым показателем. Для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого положительного числа $n$ справедливо равенство:

$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$

Применим это правило для каждого из заданных выражений.

1) В выражении $\frac{1}{4^5}$ основание степени $a = 4$, а показатель степени $n = 5$.

Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{4^5} = 4^{-5}$.

Ответ: $4^{-5}$.

2) В выражении $\frac{1}{21^3}$ основание степени $a = 21$, а показатель степени $n = 3$.

Согласно свойству степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{21^3} = 21^{-3}$.

Ответ: $21^{-3}$.

3) В выражении $\frac{1}{x^7}$ основание степени — это переменная $x$, а показатель степени $n = 7$.

Используя то же правило, получаем: $\frac{1}{x^7} = x^{-7}$ (при условии, что $x \neq 0$).

Ответ: $x^{-7}$.

4) В выражении $\frac{1}{a^9}$ основание степени — это переменная $a$, а показатель степени $n = 9$.

По аналогии с предыдущими примерами: $\frac{1}{a^9} = a^{-9}$ (при условии, что $a \neq 0$).

Ответ: $a^{-9}$.

Вычислить (319–320).

319.

1) $\left(\frac{10}{3}\right)^{-3}$;

2) $\left(-\frac{9}{11}\right)^{-2}$;

3) $(0,2)^{-4}$;

4) $(0,5)^{-5}$;

5) $-(-17)^{-1}$;

6) $-(-13)^{-2}$.

1) Для вычисления выражения $(\frac{10}{3})^{-3}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применяя это правило, получаем:

$(\frac{10}{3})^{-3} = (\frac{3}{10})^3$

Теперь возводим дробь в куб:

$(\frac{3}{10})^3 = \frac{3^3}{10^3} = \frac{27}{1000}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби: $0,027$.

Ответ: $\frac{27}{1000}$.

2) Для вычисления выражения $(-\frac{9}{11})^{-2}$ применим свойство степени с отрицательным показателем. Так как показатель степени ($-2$) является четным числом, знак минус у основания исчезнет при возведении в степень.

$(-\frac{9}{11})^{-2} = (-\frac{11}{9})^2$

Возводим полученную дробь в квадрат:

$(-\frac{11}{9})^2 = \frac{(-11)^2}{9^2} = \frac{121}{81}$

Можно выделить целую часть: $\frac{121}{81} = 1\frac{40}{81}$.

Ответ: $\frac{121}{81}$.

3) Для вычисления выражения $(0,2)^{-4}$ сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь выражение имеет вид $(\frac{1}{5})^{-4}$. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем:

$(\frac{1}{5})^{-4} = (\frac{5}{1})^4 = 5^4$

Вычислим $5^4$:

$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$

Ответ: $625$.

4) Для вычисления $(0,5)^{-5}$ преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Подставим это в исходное выражение:

$(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5 = 2^5$

Вычислим $2^5$:

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Ответ: $32$.

5) В выражении $-(-17)^{-1}$ сначала вычислим степень. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(-17)^{-1} = \frac{1}{(-17)^1} = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение, учитывая знак минус перед скобками:

$-(-\frac{1}{17}) = \frac{1}{17}$

Ответ: $\frac{1}{17}$.

6) В выражении $-(-13)^{-2}$ сначала вычислим $(-13)^{-2}$.

$(-13)^{-2} = \frac{1}{(-13)^2}$

Возводим $-13$ в квадрат (результат будет положительным, так как степень четная):

$(-13)^2 = 169$

Следовательно, $(-13)^{-2} = \frac{1}{169}$.

Подставим это значение в исходное выражение, учитывая знак минус перед скобками:

$-(\frac{1}{169}) = -\frac{1}{169}$

Ответ: $-\frac{1}{169}$.