Номер 2, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 2, страница 118.

Условие.

2. Дать определение степени $a^0$, если $a \neq 0$.

Решение 4.

По определению, степенью любого числа a, не равного нулю, с нулевым показателем является единица.

Формульно это записывается так:

$a^0 = 1$ (при $a \neq 0$)

Это определение является логическим следствием сохранения свойств степеней при переходе от натуральных показателей к целым. Чтобы показать это, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: для любого $a \neq 0$ и натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Рассмотрим, что произойдет, если мы применим это свойство к случаю, когда показатели равны, то есть $m = n$.

С одной стороны, выражение $\frac{a^n}{a^n}$ представляет собой деление ненулевого числа на само себя. Результат такой операции всегда равен 1.

$\frac{a^n}{a^n} = 1$

С другой стороны, если формально применить правило вычитания показателей, мы получим:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

Чтобы математические законы были последовательными и непротиворечивыми, результаты обоих вычислений должны быть равны. Приравнивая их, мы приходим к единственному возможному выводу:

$a^0 = 1$

Важно отметить, что условие $a \neq 0$ является обязательным. Если бы мы попытались определить $0^0$ таким же образом, мы бы столкнулись с операцией деления $\frac{0}{0}$, которая в математике не определена. Поэтому в элементарной алгебре выражение $0^0$ считается неопределенностью.

Ответ: Степенью любого числа a, не равного нулю, с нулевым показателем является число 1. Формульно: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.