Номер 12, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 12, страница 113.

Условие.

12. Доказать, что $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le 2$, если $ab > 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Утверждение, представленное в задаче, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le 2$ при $ab>0$, в общем виде неверно. Чтобы это показать, достаточно рассмотреть контрпример. Пусть $a=1$ и $b=2$. Условие $ab>0$ выполняется, так как $1 \cdot 2 = 2 > 0$. Однако, при подстановке в левую часть неравенства, получаем:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1} = 0.5 + 2 = 2.5$

Поскольку $2.5 \not\le 2$, исходное утверждение ложно.

Данное в задаче неравенство выполняется только в одном частном случае: когда $a=b$. В этом случае $\frac{a}{a} + \frac{a}{a} = 1 + 1 = 2$, и неравенство $2 \le 2$ становится верным.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось доказать обратное неравенство, которое является известным следствием из неравенства о средних (неравенство Коши):

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ при $ab>0$.

Приведем доказательство этого исправленного утверждения.

Доказательство

Необходимо доказать, что $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$, если $ab > 0$.
Для доказательства преобразуем неравенство. Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{2 \cdot ab}{ab} \ge 0$

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

В числителе дроби мы можем распознать формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Подставим ее в наше выражение:

$\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство:

1. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.

2. Знаменатель $ab$ по условию задачи является положительным числом, то есть $ab>0$.

Отношение неотрицательного числа (числителя) к положительному числу (знаменателю) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ является верным для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $ab>0$.

Следовательно, и равносильное ему неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ также верно. Равенство в данном неравенстве достигается только тогда, когда числитель равен нулю, то есть $(a-b)^2 = 0$, что возможно только при $a=b$.

Ответ: Утверждение в задаче $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le 2$ при $ab>0$ в общем случае неверно. Оно справедливо только при $a=b$. Вероятно, в условии была опечатка и имелось в виду неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$, которое справедливо для всех $a, b$ таких, что $ab>0$, что и было доказано выше.