Номер 5, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 5, страница 113.

Условие.

5. Доказать, что при любых значениях $a$ верно неравенство

$(a-2)(a^2+a+4) < a^3$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, раскрыв скобки, а затем упростим полученное выражение.

Исходное неравенство:

$(a-2)(a^2+a+4) < a^3$

Выполним умножение многочленов в левой части:

$a \cdot (a^2+a+4) - 2 \cdot (a^2+a+4) < a^3$

$a^3 + a^2 + 4a - 2a^2 - 2a - 8 < a^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2 - 2a^2) + (4a - 2a) - 8 < a^3$

$a^3 - a^2 + 2a - 8 < a^3$

Теперь перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$a^3 - a^2 + 2a - 8 - a^3 < 0$

$-a^2 + 2a - 8 < 0$

Мы получили равносильное квадратичное неравенство. Чтобы доказать, что оно верно для любого значения $a$, умножим обе его части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 2a + 8 > 0$

Докажем истинность этого неравенства, выделив в его левой части полный квадрат:

$a^2 - 2a + 8 = (a^2 - 2a + 1) - 1 + 8 = (a-1)^2 + 7$

Теперь неравенство имеет вид:

$(a-1)^2 + 7 > 0$

Проанализируем полученное выражение:

1. Выражение $(a-1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ при любом $a$.
2. Наименьшее возможное значение выражения $(a-1)^2$ равно $0$ (при $a=1$).
3. Прибавляя к неотрицательному значению $(a-1)^2$ положительное число $7$, мы получаем сумму, которая всегда будет больше или равна $7$. То есть, $(a-1)^2 + 7 \ge 0 + 7 = 7$.

Поскольку $7 > 0$, то и выражение $(a-1)^2 + 7$ всегда строго больше нуля для любого действительного значения $a$.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $a^2 - 2a + 8 > 0$ верно для всех $a$, а значит, и равносильное ему исходное неравенство $(a-2)(a^2+a+4) < a^3$ также верно при любых значениях $a$.

Ответ: Неравенство доказано.