Номер 3, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 112.

Условие.

3. Решить систему неравенств:

а) $\begin{cases}3x - 13 > 0, \\25 - 4x > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}4x - 13 \ge 3x - 10, \\11 - 4x \le 12 - 3x;\end{cases}$

в) $\begin{cases}5x + 3 < 3x - 7, \\1 - 2x > x + 4.\end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для решения системы неравенств $\begin{cases} 3x - 13 > 0, \\ 25 - 4x > 0; \end{cases}$ решим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$3x - 13 > 0$
$3x > 13$
$x > \frac{13}{3}$
2. Решим второе неравенство:
$25 - 4x > 0$
$-4x > -25$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{25}{4}$
3. Теперь найдем пересечение полученных решений. На числовой оси это будет интервал, где выполняются оба условия: $x > \frac{13}{3}$ и $x < \frac{25}{4}$.
Таким образом, решение системы — это интервал от $\frac{13}{3}$ до $\frac{25}{4}$.
Ответ: $(\frac{13}{3}; \frac{25}{4})$.

б) Для решения системы неравенств $\begin{cases} 4x - 13 \ge 3x - 10, \\ 11 - 4x \le 12 - 3x; \end{cases}$ решим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$4x - 13 \ge 3x - 10$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - 3x \ge -10 + 13$
$x \ge 3$
2. Решим второе неравенство:
$11 - 4x \le 12 - 3x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-4x + 3x \le 12 - 11$
$-x \le 1$
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge -1$
3. Найдем пересечение решений: $x \ge 3$ и $x \ge -1$. Оба условия выполняются одновременно при $x \ge 3$.
Ответ: $[3; +\infty)$.

в) Для решения системы неравенств $\begin{cases} 5x + 3 < 3x - 7, \\ 1 - 2x > x + 4. \end{cases}$ решим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$5x + 3 < 3x - 7$
$5x - 3x < -7 - 3$
$2x < -10$
$x < -5$
2. Решим второе неравенство:
$1 - 2x > x + 4$
$-2x - x > 4 - 1$
$-3x > 3$
При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -1$
3. Найдем пересечение решений: $x < -5$ и $x < -1$. Оба условия выполняются одновременно, когда $x$ меньше меньшего из чисел, то есть $x < -5$.
Ответ: $(-\infty; -5)$.