Страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Доказать, что при всех значениях x верно неравенство

$\frac{1}{2}x(2x-4) \ge (x-2)x$

Чтобы доказать, что данное неравенство верно при всех значениях x, мы выполним равносильные преобразования, пока не придем к очевидно верному утверждению.

Запишем исходное неравенство:

$\frac{1}{2}x(2x-4) \ge (x-2)x$

Преобразуем левую часть неравенства. Сначала вынесем общий множитель 2 из скобок $(2x-4)$:

$\frac{1}{2}x \cdot 2(x-2) \ge (x-2)x$

Сократим $\frac{1}{2}$ и 2 в левой части:

$x(x-2) \ge (x-2)x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$x^2 - 2x \ge x^2 - 2x$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^2 - 2x) - (x^2 - 2x) \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \ge 0$

Мы получили верное числовое неравенство $0 \ge 0$. Так как все выполненные преобразования были равносильными, то исходное неравенство также верно для любого действительного значения x.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 \ge 0$.

2. Решить неравенство:

а) $12 - 5x > 0$;

б) $3x - 7 \le 4(x + 2)$;

в) $\frac{x}{2} + \frac{3-x}{4} < 2$.

а) Дано неравенство $12-5x > 0$.

Для решения этого линейного неравенства необходимо изолировать переменную $x$. Сначала перенесем число 12 в правую часть неравенства, изменив его знак:

$-5x > -12$

Далее разделим обе части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае знак `>` меняется на `<`):

$x < \frac{-12}{-5}$

$x < \frac{12}{5}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную для удобства:

$x < 2.4$

Решением неравенства являются все числа, меньшие 2.4.

Ответ: $x < 2.4$.

б) Дано неравенство $3x-7 \le 4(x+2)$.

В первую очередь, раскроем скобки в правой части неравенства, умножив 4 на каждый член в скобках:

$3x-7 \le 4x + 8$

Теперь сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены (числа) — в другой. Перенесем $3x$ из левой части в правую и 8 из правой части в левую, меняя их знаки при переносе:

$-7-8 \le 4x-3x$

Выполним вычисления в обеих частях:

$-15 \le x$

Это неравенство означает, что $x$ больше или равен -15. Его можно записать в более привычном виде:

$x \ge -15$

Решением являются все числа, которые больше или равны -15.

Ответ: $x \ge -15$.

в) Дано неравенство $\frac{x}{2} + \frac{3-x}{4} < 2$.

Для упрощения решения избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который для 2 и 4 равен 4:

$4 \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{3-x}{4}\right) < 4 \cdot 2$

Применим распределительный закон и выполним умножение:

$4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{3-x}{4} < 8$

Сократим дроби:

$2x + (3-x) < 8$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x + 3 - x < 8$

$(2x-x) + 3 < 8$

$x + 3 < 8$

Изолируем $x$, перенеся 3 в правую часть с противоположным знаком:

$x < 8 - 3$

$x < 5$

Решением являются все числа, меньшие 5.

Ответ: $x < 5$.

3. Решить систему неравенств:

а) $\begin{cases}3x - 13 > 0, \\25 - 4x > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}4x - 13 \ge 3x - 10, \\11 - 4x \le 12 - 3x;\end{cases}$

в) $\begin{cases}5x + 3 < 3x - 7, \\1 - 2x > x + 4.\end{cases}$

а) Для решения системы неравенств $\begin{cases} 3x - 13 > 0, \\ 25 - 4x > 0; \end{cases}$ решим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$3x - 13 > 0$
$3x > 13$
$x > \frac{13}{3}$
2. Решим второе неравенство:
$25 - 4x > 0$
$-4x > -25$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{25}{4}$
3. Теперь найдем пересечение полученных решений. На числовой оси это будет интервал, где выполняются оба условия: $x > \frac{13}{3}$ и $x < \frac{25}{4}$.
Таким образом, решение системы — это интервал от $\frac{13}{3}$ до $\frac{25}{4}$.
Ответ: $(\frac{13}{3}; \frac{25}{4})$.

б) Для решения системы неравенств $\begin{cases} 4x - 13 \ge 3x - 10, \\ 11 - 4x \le 12 - 3x; \end{cases}$ решим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$4x - 13 \ge 3x - 10$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - 3x \ge -10 + 13$
$x \ge 3$
2. Решим второе неравенство:
$11 - 4x \le 12 - 3x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-4x + 3x \le 12 - 11$
$-x \le 1$
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge -1$
3. Найдем пересечение решений: $x \ge 3$ и $x \ge -1$. Оба условия выполняются одновременно при $x \ge 3$.
Ответ: $[3; +\infty)$.

в) Для решения системы неравенств $\begin{cases} 5x + 3 < 3x - 7, \\ 1 - 2x > x + 4. \end{cases}$ решим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$5x + 3 < 3x - 7$
$5x - 3x < -7 - 3$
$2x < -10$
$x < -5$
2. Решим второе неравенство:
$1 - 2x > x + 4$
$-2x - x > 4 - 1$
$-3x > 3$
При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -1$
3. Найдем пересечение решений: $x < -5$ и $x < -1$. Оба условия выполняются одновременно, когда $x$ меньше меньшего из чисел, то есть $x < -5$.
Ответ: $(-\infty; -5)$.