Страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

309. Доказать, что:

1) $2b - a < 3a - 2b$ тогда и только тогда, когда $a > b$;

2) $a + 2b > 4a - b$ тогда и только тогда, когда $a < b$;

3) $a - 2b > 3a + 2b$ тогда и только тогда, когда $a + 2b < 0$;

4) $b - 2a < 4a + 3b$ тогда и только тогда, когда $3a + b > 0$.

1) Докажем, что неравенство $2b - a < 3a - 2b$ равносильно неравенству $a > b$. Для этого будем использовать равносильные преобразования.

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в правую часть неравенства, а слагаемые с переменной $b$ — в левую. Для этого прибавим к обеим частям $a$ и $2b$.

$2b + 2b < 3a + a$

Приведем подобные члены в обеих частях:

$4b < 4a$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится.

$b < a$

Полученное неравенство $b < a$ эквивалентно неравенству $a > b$. Поскольку все преобразования были равносильными, мы доказали, что исходное утверждение верно.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что неравенство $a + 2b > 4a - b$ равносильно неравенству $a < b$.

Выполним равносильные преобразования. Перенесем члены с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ — в правую.

$2b + b > 4a - a$

Приведем подобные слагаемые:

$3b > 3a$

Разделим обе части неравенства на положительное число 3, при этом знак неравенства сохранится.

$b > a$

Это неравенство эквивалентно неравенству $a < b$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что неравенство $a - 2b > 3a + 2b$ равносильно неравенству $a + 2b < 0$.

Для доказательства преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены в левую часть.

$a - 2b - 3a - 2b > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-2a - 4b > 0$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$a + 2b < 0$

Мы получили требуемое неравенство, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что неравенство $b - 2a < 4a + 3b$ равносильно неравенству $3a + b > 0$.

Преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены из левой части в правую.

$0 < 4a + 3b - (b - 2a)$

$0 < 4a + 3b - b + 2a$

Приведем подобные члены в правой части:

$0 < 6a + 2b$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$0 < 2(3a + b)$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$0 < 3a + b$

Это неравенство эквивалентно неравенству $3a + b > 0$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

310. Скорость течения реки равна $a$ километрам в час. С какой постоянной скоростью относительно воды должен двигаться катер, чтобы путь между пристанями он прошёл вниз по течению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же путь вверх по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v$ — искомая постоянная скорость катера относительно воды (собственная скорость катера) в км/ч.
• $a$ — скорость течения реки в км/ч (по условию).
• $S$ — расстояние между пристанями в км.

Когда катер движется вниз по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки. Эта скорость составляет $v_{по} = (v + a)$ км/ч.

Когда катер движется вверх по течению, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения реки. Эта скорость составляет $v_{против} = (v - a)$ км/ч. Важно отметить, что для того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть должно выполняться условие $v > a$.

Время, которое катер затратит на путь $S$ вниз по течению, вычисляется по формуле: $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{v + a}$

Время, которое катер затратит на тот же путь $S$ вверх по течению, равно: $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{v - a}$

Согласно условию задачи, путь вниз по течению катер должен пройти по крайней мере в 3 раза быстрее, чем путь вверх по течению. Это означает, что время движения вниз по течению должно быть меньше или равно времени движения вверх по течению, делённому на 3. Запишем это в виде неравенства: $t_{по} \le \frac{t_{против}}{3}$

Подставим в это неравенство выражения для времени: $\frac{S}{v + a} \le \frac{S}{3(v - a)}$

Поскольку расстояние $S$ — положительная величина ($S > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $S$, не меняя его знака: $\frac{1}{v + a} \le \frac{1}{3(v - a)}$

Так как мы установили, что $v > a$ и $a > 0$ (скорость течения не может быть отрицательной или нулевой в контексте задачи), то оба знаменателя $(v + a)$ и $3(v - a)$ являются положительными числами. Следовательно, мы можем "перекрестно умножить" части неравенства, сохранив его знак: $3(v - a) \le 1 \cdot (v + a)$

Раскроем скобки и решим неравенство относительно $v$: $3v - 3a \le v + a$

Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а с $a$ — в правую: $3v - v \le a + 3a$

$2v \le 4a$

$v \le 2a$

Теперь объединим полученное условие $v \le 2a$ с ранее установленным физическим ограничением $v > a$. В результате получаем, что скорость катера относительно воды должна удовлетворять двойному неравенству: $a < v \le 2a$

Это означает, что собственная скорость катера должна быть строго больше скорости течения реки, но не более чем в два раза её превышать.

Ответ: Скорость катера относительно воды должна быть больше скорости течения реки, но не превосходить удвоенную скорость течения реки. Математически это можно записать как $v \in (a, 2a]$, где $v$ — скорость катера, а $a$ — скорость течения.

311. В раствор объёмом 5 л, содержащий 30% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько нужно влить второго раствора в первый, чтобы их смесь содержала не менее 60% кислоты?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это объем второго раствора в литрах, который нужно добавить.

В первом растворе объемом 5 л содержится 30% кислоты. Найдем массу (или объем, так как плотность не указана, будем считать объемы) чистой кислоты в первом растворе: $V_{кислоты1} = 5 \cdot 0,30 = 1,5$ л.

Во втором растворе объемом $x$ л содержится 70% кислоты. Количество чистой кислоты во втором растворе равно: $V_{кислоты2} = x \cdot 0,70 = 0,7x$ л.

После смешивания двух растворов общий объем смеси составит $5 + x$ л. Общее количество кислоты в этой смеси будет суммой количеств кислоты из первого и второго растворов: $V_{кислоты\_общ} = 1,5 + 0,7x$ л.

Концентрация кислоты в итоговой смеси вычисляется как отношение общего количества кислоты к общему объему смеси. По условию, эта концентрация должна быть не менее 60% (то есть $\ge 0,6$). Составим неравенство: $\frac{1,5 + 0,7x}{5 + x} \ge 0,6$

Для решения этого неравенства умножим обе его части на знаменатель $(5 + x)$. Так как объем $x$ не может быть отрицательным, выражение $5 + x$ всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится: $1,5 + 0,7x \ge 0,6(5 + x)$ $1,5 + 0,7x \ge 3 + 0,6x$

Теперь сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой: $0,7x - 0,6x \ge 3 - 1,5$ $0,1x \ge 1,5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 0,1: $x \ge \frac{1,5}{0,1}$ $x \ge 15$

Следовательно, чтобы концентрация кислоты в смеси была не менее 60%, необходимо влить не менее 15 литров второго раствора.

Ответ: не менее 15 л.

312. Доказать, что если $|x-a|=|x-b|$, где $a < b$, то $x$ - середина отрезка $[a; b]$, т. е. $x = \frac{a+b}{2}$.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим уравнение $|x - a| = |x - b|$, где по условию $a < b$.

С геометрической точки зрения, выражение $|x - y|$ представляет собой расстояние между точками $x$ и $y$ на числовой прямой. Следовательно, равенство $|x - a| = |x - b|$ означает, что точка $x$ равноудалена от точек $a$ и $b$. Единственная точка на числовой прямой, удовлетворяющая этому условию для различных $a$ и $b$, является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Теперь докажем это алгебраически.

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Применим это свойство к нашему уравнению.

Рассмотрим первый возможный случай: $x - a = x - b$.

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения, что приводит к равенству $-a = -b$, или $a = b$. Это противоречит исходному условию задачи $a < b$, следовательно, этот случай не дает решений.

Рассмотрим второй возможный случай: $x - a = -(x - b)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x - a = -x + b$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:

$x + x = a + b$

$2x = a + b$

Разделив обе части уравнения на 2, мы находим единственное решение:

$x = \frac{a + b}{2}$

Это выражение является формулой для нахождения координаты середины отрезка $[a, b]$. Таким образом, мы строго доказали, что если $|x - a| = |x - b|$ при $a < b$, то $x$ является серединой отрезка $[a, b]$.

Ответ: Утверждение доказано. Единственным решением уравнения $|x - a| = |x - b|$ при условии $a < b$ является $x = \frac{a + b}{2}$, что по определению является серединой отрезка $[a, b]$.

313. Решить уравнение:

1) $|x - 1| = |x - 2|;$

2) $|x - 5| = |x - 8|;$

3) $|x + 1| = |x - 2|;$

4) $|x + 3| = |x - 5|;$

5) $|x + 3| = |x + 7|;$

6) $|x + 6| = |x + 10|.$

1) $|x - 1| = |x - 2|$

Данное уравнение имеет вид $|A| = |B|$, где $A = x - 1$ и $B = x - 2$. Такое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Подмодульные выражения равны.

$x - 1 = x - 2$

Перенеся слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую, получим:

$x - x = -2 + 1$

$0 = -1$

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае уравнение не имеет решений.

Случай 2: Подмодульные выражения противоположны.

$x - 1 = -(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x - 1 = -x + 2$

Теперь перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + x = 2 + 1$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 1.5$.

Ответ: $1.5$

2) $|x - 5| = |x - 8|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x - 5 = x - 8$

$x - x = -8 + 5$

$0 = -3$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x - 5 = -(x - 8)$

$x - 5 = -x + 8$

$x + x = 8 + 5$

$2x = 13$

$x = \frac{13}{2} = 6.5$

Решением уравнения является $x = 6.5$.

Ответ: $6.5$

3) $|x + 1| = |x - 2|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 1 = x - 2$

$x - x = -2 - 1$

$0 = -3$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 1 = -(x - 2)$

$x + 1 = -x + 2$

$x + x = 2 - 1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2} = 0.5$

Решением уравнения является $x = 0.5$.

Ответ: $0.5$

4) $|x + 3| = |x - 5|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 3 = x - 5$

$x - x = -5 - 3$

$0 = -8$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 3 = -(x - 5)$

$x + 3 = -x + 5$

$x + x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Решением уравнения является $x = 1$.

Ответ: $1$

5) $|x + 3| = |x + 7|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 3 = x + 7$

$x - x = 7 - 3$

$0 = 4$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 3 = -(x + 7)$

$x + 3 = -x - 7$

$x + x = -7 - 3$

$2x = -10$

$x = -5$

Решением уравнения является $x = -5$.

Ответ: $-5$

6) $|x + 6| = |x + 10|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 6 = x + 10$

$x - x = 10 - 6$

$0 = 4$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 6 = -(x + 10)$

$x + 6 = -x - 10$

$x + x = -10 - 6$

$2x = -16$

$x = -8$

Решением уравнения является $x = -8$.

Ответ: $-8$

1. Волосы на голове человека растут со скоростью примерно 0,4 мм в сутки. Определить наибольший промежуток времени между двумя посещениями парикмахерской мальчиком, который хочет носить волосы длиной не короче 3 см, но и не длиннее 5 см.

1. Чтобы определить наибольший промежуток времени между двумя посещениями парикмахерской, нужно рассчитать, за какой срок волосы вырастут от минимально допустимой длины до максимально допустимой.

По условию задачи, мальчик хочет носить волосы длиной не короче 3 см ($L_{min}$) и не длиннее 5 см ($L_{max}$). Это означает, что для максимального увеличения времени между стрижками он должен приходить в парикмахерскую, когда его волосы достигают длины 5 см, и стричь их до минимально допустимой длины в 3 см.

1. Сначала найдем, на какую длину волосы могут отрасти, оставаясь в заданных пределах. Эта длина равна разнице между максимальной и минимальной допустимой длиной:
$\Delta L = L_{max} - L_{min} = 5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2 \text{ см}$

2. Скорость роста волос дана в миллиметрах в сутки ($v = 0,4 \text{ мм/сутки}$), поэтому необходимо привести длину $\Delta L$ к той же единице измерения. Поскольку $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, получаем:
$\Delta L = 2 \text{ см} = 2 \times 10 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$

3. Теперь можно рассчитать время $t$, за которое волосы отрастут на 20 мм. Для этого разделим общую длину, на которую должны вырасти волосы, на скорость их роста:
$t = \frac{\Delta L}{v} = \frac{20 \text{ мм}}{0,4 \text{ мм/сутки}}$
$t = 50 \text{ суток}$

Следовательно, самый большой промежуток времени, который может пройти между двумя стрижками, составляет 50 суток.
Ответ: 50 суток.

2. Для того чтобы температуру C, выраженную в градусах по шкале Цельсия, перевести в температуру F, выраженную в градусах по шкале Фаренгейта, пользуются формулой $F = \frac{5}{9}C + 32$. Определить:

1) F, если $10 \le C \le 25$;

2) C, если $5 \le F \le 32$.

Для решения задачи используется формула для перевода температуры из градусов по шкале Цельсия (C) в градусы по шкале Фаренгейта (F): $F = \frac{5}{9}C + 32$.

1) Определить F, если $10 \le C \le 25$

Чтобы найти диапазон значений для F, мы будем преобразовывать данное двойное неравенство $10 \le C \le 25$, используя свойства неравенств.

Сначала умножим все части неравенства на коэффициент при C, то есть на $\frac{5}{9}$:

$10 \cdot \frac{5}{9} \le C \cdot \frac{5}{9} \le 25 \cdot \frac{5}{9}$

$\frac{50}{9} \le \frac{5}{9}C \le \frac{125}{9}$

Теперь, согласно формуле, прибавим 32 ко всем частям полученного неравенства:

$\frac{50}{9} + 32 \le \frac{5}{9}C + 32 \le \frac{125}{9} + 32$

Выражение в центре неравенства теперь соответствует формуле для F. Выполним вычисления для левой и правой частей:

Левая часть: $\frac{50}{9} + 32 = \frac{50}{9} + \frac{32 \cdot 9}{9} = \frac{50 + 288}{9} = \frac{338}{9} = 37\frac{5}{9}$.

Правая часть: $\frac{125}{9} + 32 = \frac{125}{9} + \frac{32 \cdot 9}{9} = \frac{125 + 288}{9} = \frac{413}{9} = 45\frac{8}{9}$.

Таким образом, мы получаем итоговое неравенство для F:

$37\frac{5}{9} \le F \le 45\frac{8}{9}$

Ответ: $37\frac{5}{9} \le F \le 45\frac{8}{9}$.

2) Определить C, если $5 \le F \le 32$

Для нахождения диапазона значений C, нам сначала нужно выразить C из исходной формулы $F = \frac{5}{9}C + 32$.

Вычтем 32 из обеих частей уравнения:

$F - 32 = \frac{5}{9}C$

Теперь умножим обе части на $\frac{9}{5}$, чтобы выделить C:

$C = \frac{9}{5}(F - 32)$

Теперь мы можем использовать полученную формулу для преобразования заданного неравенства $5 \le F \le 32$.

Сначала вычтем 32 из всех частей неравенства:

$5 - 32 \le F - 32 \le 32 - 32$

$-27 \le F - 32 \le 0$

Теперь умножим все части на $\frac{9}{5}$. Так как множитель $\frac{9}{5}$ положителен, знаки неравенства сохраняются:

$-27 \cdot \frac{9}{5} \le (F - 32) \cdot \frac{9}{5} \le 0 \cdot \frac{9}{5}$

Заменив центральную часть на C, получаем:

$-\frac{243}{5} \le C \le 0$

Преобразуем левую часть в десятичную дробь для удобства:

$-48,6 \le C \le 0$

Ответ: $-48,6 \le C \le 0$.

3. В некотором городе плата за услуги телефонной связи определяется следующим образом. Каждый абонент платит ежемесячно 400 р. плюс 0,2 р. за каждую минуту разговора. Какое наибольшее время разговоров по телефону может позволить себе абонент в месяц, если не хочет, чтобы ежемесячная оплата услуг телефонной связи превысила 700 р.?

Для нахождения наибольшего времени разговоров, которое может позволить себе абонент, составим математическую модель на основе условий задачи.

Пусть $x$ — это искомое количество минут разговоров в месяц.

Общая плата за услуги связи за месяц состоит из двух частей:
1. Фиксированная абонентская плата, которая составляет $400$ рублей.
2. Плата за минуты разговора, которая рассчитывается как произведение стоимости одной минуты на их количество: $0,2 \cdot x$ рублей.

Суммарная стоимость услуг за месяц $S$ может быть выражена формулой:
$S(x) = 400 + 0,2x$

Согласно условию, абонент не хочет, чтобы ежемесячная оплата превысила $700$ рублей. Это означает, что общая стоимость должна быть меньше или равна $700$ рублям. Запишем это в виде неравенства:
$S(x) \le 700$

Подставим в неравенство выражение для $S(x)$:
$400 + 0,2x \le 700$

Теперь решим это линейное неравенство относительно $x$:
Вычтем $400$ из обеих частей неравенства:
$0,2x \le 700 - 400$
$0,2x \le 300$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $0,2$:
$x \le \frac{300}{0,2}$

Выполним деление:
$x \le 1500$

Таким образом, количество минут разговора не должно превышать $1500$. Наибольшее возможное целое количество минут равно $1500$.

Ответ: 1500 минут.

4. По закону Гука при малых деформациях сила упругости прямо пропорциональна величине деформации. При растяжении и сжатии пружины модуль силы упругости $F_{\text{упр}}$ (выраженный в ньютонах) находится по формуле $F_{\text{упр}} = k \cdot |x|$, где $k$ — коэффициент упругости пружины (выраженный в ньютонах на метр), $x$ — удлинение пружины (выраженное в метрах). Определить силу упругости $F_{\text{упр}}$ для пружины, имеющей $k=200$, если $0,1 \le x \le 0,5$.

Для определения диапазона значений силы упругости $F_{упр}$ воспользуемся законом Гука, представленным в условии задачи:

$F_{упр} = k \cdot |x|$

В этой формуле:

• $k$ — это коэффициент упругости пружины. По условию, $k = 200$ Н/м.
• $x$ — это удлинение пружины в метрах.

Так как в задаче говорится о растяжении (удлинении), величина $x$ принимает положительные значения. Следовательно, модуль $|x|$ равен самому $x$. Формула для расчета силы упругости упрощается до вида:

$F_{упр} = k \cdot x$

Согласно условию, удлинение пружины $x$ находится в следующем диапазоне:

$0,1 \le x \le 0,5$

Поскольку сила упругости $F_{упр}$ прямо пропорциональна удлинению $x$, для нахождения диапазона силы упругости нужно рассчитать ее значения для минимального и максимального удлинения.

1. Расчет минимальной силы упругости ($F_{упр.мин}$)

Подставим минимальное значение удлинения $x_{мин} = 0,1$ м в формулу:

$F_{упр.мин} = 200 \cdot 0,1 = 20$ Н

2. Расчет максимальной силы упругости ($F_{упр.макс}$)

Подставим максимальное значение удлинения $x_{макс} = 0,5$ м в формулу:

$F_{упр.макс} = 200 \cdot 0,5 = 100$ Н

Таким образом, искомая сила упругости $F_{упр}$ будет принимать значения в пределах от 20 Н до 100 Н включительно.

Ответ: $20 \le F_{упр} \le 100$.