Номер 312, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 312, страница 110.

Условие.

312. Доказать, что если $|x-a|=|x-b|$, где $a < b$, то $x$ - середина отрезка $[a; b]$, т. е. $x = \frac{a+b}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим уравнение $|x - a| = |x - b|$, где по условию $a < b$.

С геометрической точки зрения, выражение $|x - y|$ представляет собой расстояние между точками $x$ и $y$ на числовой прямой. Следовательно, равенство $|x - a| = |x - b|$ означает, что точка $x$ равноудалена от точек $a$ и $b$. Единственная точка на числовой прямой, удовлетворяющая этому условию для различных $a$ и $b$, является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Теперь докажем это алгебраически.

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Применим это свойство к нашему уравнению.

Рассмотрим первый возможный случай: $x - a = x - b$.

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения, что приводит к равенству $-a = -b$, или $a = b$. Это противоречит исходному условию задачи $a < b$, следовательно, этот случай не дает решений.

Рассмотрим второй возможный случай: $x - a = -(x - b)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x - a = -x + b$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:

$x + x = a + b$

$2x = a + b$

Разделив обе части уравнения на 2, мы находим единственное решение:

$x = \frac{a + b}{2}$

Это выражение является формулой для нахождения координаты середины отрезка $[a, b]$. Таким образом, мы строго доказали, что если $|x - a| = |x - b|$ при $a < b$, то $x$ является серединой отрезка $[a, b]$.

Ответ: Утверждение доказано. Единственным решением уравнения $|x - a| = |x - b|$ при условии $a < b$ является $x = \frac{a + b}{2}$, что по определению является серединой отрезка $[a, b]$.