Номер 313, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 313, страница 110.

Условие.

313. Решить уравнение:

1) $|x - 1| = |x - 2|;$

2) $|x - 5| = |x - 8|;$

3) $|x + 1| = |x - 2|;$

4) $|x + 3| = |x - 5|;$

5) $|x + 3| = |x + 7|;$

6) $|x + 6| = |x + 10|.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $|x - 1| = |x - 2|$

Данное уравнение имеет вид $|A| = |B|$, где $A = x - 1$ и $B = x - 2$. Такое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Подмодульные выражения равны.

$x - 1 = x - 2$

Перенеся слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую, получим:

$x - x = -2 + 1$

$0 = -1$

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае уравнение не имеет решений.

Случай 2: Подмодульные выражения противоположны.

$x - 1 = -(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x - 1 = -x + 2$

Теперь перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + x = 2 + 1$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 1.5$.

Ответ: $1.5$

2) $|x - 5| = |x - 8|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x - 5 = x - 8$

$x - x = -8 + 5$

$0 = -3$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x - 5 = -(x - 8)$

$x - 5 = -x + 8$

$x + x = 8 + 5$

$2x = 13$

$x = \frac{13}{2} = 6.5$

Решением уравнения является $x = 6.5$.

Ответ: $6.5$

3) $|x + 1| = |x - 2|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 1 = x - 2$

$x - x = -2 - 1$

$0 = -3$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 1 = -(x - 2)$

$x + 1 = -x + 2$

$x + x = 2 - 1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2} = 0.5$

Решением уравнения является $x = 0.5$.

Ответ: $0.5$

4) $|x + 3| = |x - 5|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 3 = x - 5$

$x - x = -5 - 3$

$0 = -8$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 3 = -(x - 5)$

$x + 3 = -x + 5$

$x + x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Решением уравнения является $x = 1$.

Ответ: $1$

5) $|x + 3| = |x + 7|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 3 = x + 7$

$x - x = 7 - 3$

$0 = 4$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 3 = -(x + 7)$

$x + 3 = -x - 7$

$x + x = -7 - 3$

$2x = -10$

$x = -5$

Решением уравнения является $x = -5$.

Ответ: $-5$

6) $|x + 6| = |x + 10|$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1: $x + 6 = x + 10$

$x - x = 10 - 6$

$0 = 4$

Неверное равенство, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x + 6 = -(x + 10)$

$x + 6 = -x - 10$

$x + x = -10 - 6$

$2x = -16$

$x = -8$

Решением уравнения является $x = -8$.

Ответ: $-8$