Номер 310, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 310, страница 110.

Условие.

310. Скорость течения реки равна $a$ километрам в час. С какой постоянной скоростью относительно воды должен двигаться катер, чтобы путь между пристанями он прошёл вниз по течению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же путь вверх по течению реки?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v$ — искомая постоянная скорость катера относительно воды (собственная скорость катера) в км/ч.
• $a$ — скорость течения реки в км/ч (по условию).
• $S$ — расстояние между пристанями в км.

Когда катер движется вниз по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки. Эта скорость составляет $v_{по} = (v + a)$ км/ч.

Когда катер движется вверх по течению, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения реки. Эта скорость составляет $v_{против} = (v - a)$ км/ч. Важно отметить, что для того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть должно выполняться условие $v > a$.

Время, которое катер затратит на путь $S$ вниз по течению, вычисляется по формуле: $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{v + a}$

Время, которое катер затратит на тот же путь $S$ вверх по течению, равно: $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{v - a}$

Согласно условию задачи, путь вниз по течению катер должен пройти по крайней мере в 3 раза быстрее, чем путь вверх по течению. Это означает, что время движения вниз по течению должно быть меньше или равно времени движения вверх по течению, делённому на 3. Запишем это в виде неравенства: $t_{по} \le \frac{t_{против}}{3}$

Подставим в это неравенство выражения для времени: $\frac{S}{v + a} \le \frac{S}{3(v - a)}$

Поскольку расстояние $S$ — положительная величина ($S > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $S$, не меняя его знака: $\frac{1}{v + a} \le \frac{1}{3(v - a)}$

Так как мы установили, что $v > a$ и $a > 0$ (скорость течения не может быть отрицательной или нулевой в контексте задачи), то оба знаменателя $(v + a)$ и $3(v - a)$ являются положительными числами. Следовательно, мы можем "перекрестно умножить" части неравенства, сохранив его знак: $3(v - a) \le 1 \cdot (v + a)$

Раскроем скобки и решим неравенство относительно $v$: $3v - 3a \le v + a$

Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а с $a$ — в правую: $3v - v \le a + 3a$

$2v \le 4a$

$v \le 2a$

Теперь объединим полученное условие $v \le 2a$ с ранее установленным физическим ограничением $v > a$. В результате получаем, что скорость катера относительно воды должна удовлетворять двойному неравенству: $a < v \le 2a$

Это означает, что собственная скорость катера должна быть строго больше скорости течения реки, но не более чем в два раза её превышать.

Ответ: Скорость катера относительно воды должна быть больше скорости течения реки, но не превосходить удвоенную скорость течения реки. Математически это можно записать как $v \in (a, 2a]$, где $v$ — скорость катера, а $a$ — скорость течения.