Номер 304, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 304, страница 109.

Условие.

304. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases}0,4(x + 3) - 1,7 \geq 0,3(x - 5) + 0,7x \\0,4(x - 1) + 0,5x \geq 0,3(x + 5) - 0,9\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x + 4}{7} \leq \frac{2x - 3}{5} \\\frac{6x - 8}{3} \leq \frac{3 + 5x}{4}\end{cases}$

3) $\begin{cases}\frac{7 - x}{2} - 3 \leq \frac{3 + 4x}{5} \\\frac{5x}{3} + 5(4 - x) > 2(4 - x) + 13\end{cases}$

4) $\begin{cases}0,4x + \frac{7}{3} < \frac{2}{3}x - 1,2 \\\frac{2x + 9}{7} > \frac{5x - 3}{4}\end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4(x + 3) - 1,7 \ge 0,3(x - 5) + 0,7x \\ 0,4(x - 1) + 0,5x \ge 0,3(x + 5) - 0,9 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Для удобства умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$4(x + 3) - 17 \ge 3(x - 5) + 7x$

Раскроем скобки:

$4x + 12 - 17 \ge 3x - 15 + 7x$

Приведем подобные слагаемые:

$4x - 5 \ge 10x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 - 5 \ge 10x - 4x$

$10 \ge 6x$

$x \le \frac{10}{6}$

$x \le \frac{5}{3}$

Теперь решим второе неравенство. Также умножим обе части на 10:

$4(x - 1) + 5x \ge 3(x + 5) - 9$

Раскроем скобки:

$4x - 4 + 5x \ge 3x + 15 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$9x - 4 \ge 3x + 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 3x \ge 6 + 4$

$6x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{6}$

$x \ge \frac{5}{3}$

Объединим решения обоих неравенств: $x \le \frac{5}{3}$ и $x \ge \frac{5}{3}$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x + 4}{7} \le \frac{2x - 3}{5} \\ \frac{6x - 8}{3} \le \frac{3 + 5x}{4} \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 35:

$5(x + 4) \le 7(2x - 3)$

Раскроем скобки:

$5x + 20 \le 14x - 21$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$20 + 21 \le 14x - 5x$

$41 \le 9x$

$x \ge \frac{41}{9}$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 12:

$4(6x - 8) \le 3(3 + 5x)$

Раскроем скобки:

$24x - 32 \le 9 + 15x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$24x - 15x \le 9 + 32$

$9x \le 41$

$x \le \frac{41}{9}$

Объединим решения обоих неравенств: $x \ge \frac{41}{9}$ и $x \le \frac{41}{9}$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{41}{9}$.

Ответ: $\frac{41}{9}$.

3) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{7 - x}{2} - 3 \le \frac{3 + 4x}{5} \\ \frac{5x}{3} + 5(4 - x) > 2(4 - x) + 13 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Сначала упростим левую часть:

$\frac{7 - x - 2 \cdot 3}{2} \le \frac{3 + 4x}{5}$

$\frac{1 - x}{2} \le \frac{3 + 4x}{5}$

Умножим обе части на общий знаменатель 10:

$5(1 - x) \le 2(3 + 4x)$

$5 - 5x \le 6 + 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$5 - 6 \le 8x + 5x$

$-1 \le 13x$

$x \ge -\frac{1}{13}$

Теперь решим второе неравенство. Раскроем скобки:

$\frac{5x}{3} + 20 - 5x > 8 - 2x + 13$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$\frac{5x}{3} - 5x + 20 > 21 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$\frac{5x}{3} - 5x + 2x > 21 - 20$

$\frac{5x}{3} - 3x > 1$

$\frac{5x - 9x}{3} > 1$

$\frac{-4x}{3} > 1$

Умножим на 3:

$-4x > 3$

Разделим на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{3}{4}$

Получили систему $x \ge -\frac{1}{13}$ и $x < -\frac{3}{4}$. Поскольку $-\frac{1}{13} \approx -0,077$, а $-\frac{3}{4} = -0,75$, то $-\frac{1}{13} > -\frac{3}{4}$. Не существует числа, которое одновременно больше или равно $-\frac{1}{13}$ и меньше $-\frac{3}{4}$.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4x + \frac{7}{3} < \frac{2}{3}x - 1,2 \\ \frac{2x + 9}{7} > \frac{5x - 3}{4} \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,4 = \frac{2}{5}$, $1,2 = \frac{6}{5}$.

$\frac{2}{5}x + \frac{7}{3} < \frac{2}{3}x - \frac{6}{5}$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$\frac{7}{3} + \frac{6}{5} < \frac{2}{3}x - \frac{2}{5}x$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{35 + 18}{15} < \frac{10x - 6x}{15}$

$\frac{53}{15} < \frac{4x}{15}$

Умножим обе части на 15:

$53 < 4x$

$x > \frac{53}{4}$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 28:

$4(2x + 9) > 7(5x - 3)$

Раскроем скобки:

$8x + 36 > 35x - 21$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$36 + 21 > 35x - 8x$

$57 > 27x$

Разделим обе части на 27 и сократим дробь:

$x < \frac{57}{27} = \frac{19}{9}$

Получили систему $x > \frac{53}{4}$ и $x < \frac{19}{9}$. Сравним дроби: $\frac{53}{4} = 13\frac{1}{4}$, а $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9}$. Не существует числа, которое одновременно больше $13\frac{1}{4}$ и меньше $2\frac{1}{9}$.

Ответ: нет решений.