Номер 300, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 300, страница 108.

Условие.

300. 1) Найти приближённое значение числа x с недостатком и с избытком, если $x = 2,1 \pm 0,1$.

2) Доказать, что число 0,43 является приближённым значением дроби $\frac{17}{40}$ с точностью до 0,01.

3) Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,001 число $\frac{3}{7}$; $\frac{4}{13}$; $1\frac{2}{11}$; $2\frac{7}{16}$ (при желании воспользоваться калькулятором, деля числитель на знаменатель дроби).

Решение 1.

Решение 4.

1)

Запись $x = 2,1 \pm 0,1$ означает, что точное значение числа $x$ находится в интервале, границы которого определяются вычитанием и прибавлением погрешности $0,1$ к приближенному значению $2,1$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$2,1 - 0,1 \le x \le 2,1 + 0,1$

$2,0 \le x \le 2,2$

Приближенное значение с недостатком — это нижняя граница интервала, то есть меньшее из двух возможных значений.

Приближенное значение с избытком — это верхняя граница интервала, то есть большее из двух возможных значений.

Ответ: приближенное значение с недостатком — 2,0; приближенное значение с избытком — 2,2.

2)

Чтобы доказать, что число 0,43 является приближенным значением дроби $\frac{17}{40}$ с точностью до 0,01, необходимо найти абсолютную погрешность этого приближения и убедиться, что она не превышает 0,01. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближенным значениями.

1. Переведем обыкновенную дробь $\frac{17}{40}$ в десятичную:

$\frac{17}{40} = 17 : 40 = 0,425$

2. Вычислим абсолютную погрешность:

$|\text{точное значение} - \text{приближенное значение}| = |0,425 - 0,43| = |-0,005| = 0,005$

3. Сравним полученную погрешность с заданной точностью 0,01:

$0,005 \le 0,01$

Так как неравенство верно, это доказывает, что 0,43 является приближенным значением дроби $\frac{17}{40}$ с точностью до 0,01.

Ответ: доказано, так как абсолютная погрешность $| \frac{17}{40} - 0,43 | = 0,005$, что меньше или равно заданной точности $0,01$.

3)

Чтобы представить числа в виде десятичной дроби с точностью до 0,001, необходимо перевести их в десятичный вид и округлить до третьего знака после запятой (до тысячных). Округление производится по стандартным правилам: если первая отбрасываемая цифра (четвертая после запятой) равна 5 или больше, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

• $\frac{3}{7}$

  $\frac{3}{7} = 3 : 7 \approx 0,428571...$
  Четвертая цифра после запятой — 5. Округляем третью цифру (8) в большую сторону.
  $\frac{3}{7} \approx 0,429$

• $\frac{4}{13}$

  $\frac{4}{13} = 4 : 13 \approx 0,307692...$
  Четвертая цифра после запятой — 6. Округляем третью цифру (7) в большую сторону.
  $\frac{4}{13} \approx 0,308$

• $1\frac{2}{11}$

  $1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11} = 13 : 11 \approx 1,181818...$
  Четвертая цифра после запятой — 8. Округляем третью цифру (1) в большую сторону.
  $1\frac{2}{11} \approx 1,182$

• $2\frac{7}{16}$

  $2\frac{7}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 7}{16} = \frac{39}{16} = 39 : 16 = 2,4375$
  Четвертая цифра после запятой — 5. Округляем третью цифру (7) в большую сторону.
  $2\frac{7}{16} \approx 2,438$

Ответ: $\frac{3}{7} \approx 0,429$; $\frac{4}{13} \approx 0,308$; $1\frac{2}{11} \approx 1,182$; $2\frac{7}{16} \approx 2,438$.